Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi A là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và B là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm vi rút”.

Ta có P(A|B) = 0,762; \(P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 0,991\); P(B) = 0,01.

Suy ra \(P\left( {A|\overline B } \right) = 1 - P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 0,009\), \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,99\)

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.

Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quả xét nghiệm dương tính là P(B|A).

Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,01.0,762}}{{0,01653}} \approx 0,461\).

Vậy khả năng thực sự người đó nhiễn virus là 46,1%.

A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

Ta có P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,9; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,5\).

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,3;P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0,1\);

\(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 0,5\)

Ta có sơ đồ hình cây

Gọi A là biến cố “Tuyến phố H bị tắc đường” và B là biến cố “Buổi sáng đó có mưa”

Theo đề ta có: P(B) = 0,1; P(A|B) = 0,7; \(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,2\).

Suy ra \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,9\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\) = 0,1.0,7 + 0,9.0,2 = 0,25.

Gọi A là biến cố “Học sinh đó có tật khúc xạ” và B là biến cố “Học sinh đó là học sinh nam”.

a) Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{18}}{{12 + 18}} = \frac{3}{5}\).

b) Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{18}}{{18 + 32}} = \frac{9}{{25}}\).

Gọi A là biến cố “Hệ thống radar phát cảnh báo” và B là biến cố “Vật thể bay đó là mục tiêu thật”.

Theo đề ta có P(A|B) = 0,9; \(P\left( {A|\overline B } \right) = 0,05\); \(P\left( {\overline B } \right) = 0,99\).

Suy ra \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 0,01\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\) = 0,01.0,9 + 0,99.0,05 = 0,0585.

Ta cần tính \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,0585}} = \frac{2}{{13}}\).

Gọi A là biến cố “Tài xế gây tai nạn” và B là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”.

Theo đề ta có P(B) = 0,02; P(B|A) = 0,1.

Suy ra \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,98\); \(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0,9\).

Cần tính \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\)\( = 0,02.x + 0,98.y\)

(đặt \(P\left( {A|B} \right) = x;P\left( {A|\overline B } \right) = y\)).

Có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\) \[ \Leftrightarrow 0,1 = \frac{{0,02.x}}{{0,02x + 0,98y}}\]\[ \Leftrightarrow 0,02x + 0,98y = 0,2.x\]

Þ \(y = \frac{9}{{49}}x\).

Ta có \(\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{x}{y} = \frac{x}{{\frac{9}{{49}}x}} = \frac{{49}}{9} \approx 5,44\).

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5,44 lần.