Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Tích phân có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Xe dừng khi v(t) = 20 – 5t = 0 Û t = 4.

Quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là:

$s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(20-5t\right)dt={\left.\left(20t-\frac{5t^2}{2}\right)\right|}_0^4=40$ (m).

a)

Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(3; 4), D(1; 2).

Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.

Do đó \(S\left( 3 \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4} \right).2}}{2} = 6\).

b)

Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).

Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.

Do đó \(S\left( x \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}\), x ≥ 1.

c) Có \(S'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{2x + 2}}{2} = x + 1 = f\left( x \right)\).

Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên

\(F\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C} \).

Do đó \(F\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 3 + C = \frac{{15}}{2} + C\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 + C = \frac{3}{2} + C\).

Suy ra \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{{15}}{2} + C - \left( {\frac{3}{2} + C} \right) = 6 = S\left( 3 \right)\).

Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).

Ta có hàm số y = e^x liên tục, dương trên đoạn [0; 1] .

Ta có $\int e^{x}dx=e^x+C$. Suy ra một nguyên hàm của hàm số y = e^x là F(x) = e^x.

Do đó diện tích hình thang cong cần tính là:

S = F(1) – F(0) = e – 1.

Ta có $\int \left(2x-1\right)dx=x^2-x+C$.

Giả sử F(x) = x² – x; G(x) = x² – x + 1 là hai nguyên hàm của f(x).

Ta có F(3) – F(0) = 6; G(3) – G(0) = 7 – 1 = 6.

Do đó F(3) – F(0) = G(3) – G(0).

a) \(\int\limits_1^3 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_1^3 = 9 - 1 = 8\).

b) \(\int\limits_0^\pi {\sin tdt} = \left. { - {\mathop{\rm cost}\nolimits} } \right|_0^\pi = 1 + 1 = 2\).

c) \(\int\limits_0^{\ln 2} {{e^u}du} \)\( = \left. {{e^u}} \right|_0^{\ln 2}\)\( = {e^{\ln 2}} - {e^0} = 2 - 1 = 1\).

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là:

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^5 {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)} dt\)\( = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^5\)\( = 23,75\) m.

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là:

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)} dt\)\( = \left. {\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10} = 90\) m.

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10 là:

\(\frac{1}{{10 - 0}}\int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} \)\( = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^{10} {\left( {2t - 0,03{t^2}} \right)dt} \)\( = \left. {\frac{1}{{10}}\left( {{t^2} - 0,01{t^3}} \right)} \right|_0^{10} = 9\) m/s.

a) Ta có \(\int {6{x^5}dx} = {x^6} + C\).

Do đó F(x) = x⁶ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 6x⁵.

Ta có \(\int\limits_0^2 {6{x^5}dx} = \left. {{x^6}} \right|_0^2 = 64\).

b) \(J = \int\limits_0^2 {{x^5}dx} = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_0^2 = \frac{{64}}{6}\).

c) Ta có I = 6J = 64.

a) \(\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx} \)\( = 4\int\limits_{ - 1}^1 {{x^7}dx} \)\( = \left. {\frac{{{x^8}}}{2}} \right|_{ - 1}^1\)\( = \left. {\frac{{{x^8}}}{2}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\).

b) \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx} \)\( = - \frac{3}{{10}}\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{1}{x}dx} \)\( = \left. { - \frac{3}{{10}}\ln \left| x \right|} \right|_{ - 2}^{ - 1}\)\( = \frac{3}{{10}}\ln 2\).

c) \(\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}} dx\)\( = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^2 {{5^x}} dx\)\( = \left. {\frac{1}{{10}}.\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^2\)\( = \frac{{24}}{{10\ln 5}}\).