Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x-1}{x^2}dx$;                b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+2{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$;            c) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}{\left(x-2\right)}^{2}dx+\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(4x-x^2\right)dx$.

Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức: $v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}t,0\le t\le \mathrm{2,}\\ \mathrm{2,}2<t\le \mathrm{20,}\\ 12-\mathrm{0,5}t,20<t\le 24.\end{array}\right.$

Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx$;               b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$;            c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$;                  d) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx$.

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{-2}{\overset{4}{\int }}\left(x+1\right)\left(x-1\right)dx$;                                  b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x^2-2x+1}{x}dx$;   

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(3\sin x-2\right)dx$;                                     d) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx$.

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T(°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và $T^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{30}{x}\left(6\le x\le 8\right)$.

(Nguồn: Y.A.Cengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, McGraw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (Hình 8).

Tính các tích phân sau

a) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|2x+2\right|dx$;                           b) $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$;                          c) $\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left|\sin x\right|dx$.