Giải SGK Toán 12 CTST Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án

54 người thi tuần này 4.6 774 lượt thi 21 câu hỏi

Câu 1

Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là $V = \frac{4 π R^{3}}{3}$ . Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

Xem đáp án

Lời giải

Sau khi học xong bài, ta giải quyết bài toán này như sau:

Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là V = 4pi R^3/ 3 . Làm thế nào để tìm ra công thức đó? (ảnh 1)

Khối cầu có bán kính R là khối tròn xoay nhận được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \left( { - R \le x \le R} \right)$ và trục Ox quanh trục Ox.

Từ đó thể tích khối cầu là:

$V = \pi \int\limits_{ - R}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} = \left. {\pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - R}^R = \frac{{4\pi {R^3}}}{3}$.

Câu 2

Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

a) Tính S₁ và so sánh với $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $.

b) Tính S₂ và so sánh với $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} $.

c) So sánh $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ với S₁ + S₂.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành (ảnh 2)

a) Gọi A(3; 0), B(0; 6), C(5; 0), E(5; −4).

Ta có S₁ chính là diện tích của tam giác vuông OAB với OA = 3, OB = 6.

Do đó ${S_1} = {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.3.6 = 9$.

Ta có $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $$ = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} $\[ = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3\] = 9.

Vậy ${S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $.

b) Ta có S₂ chính là diện tích của tam giác vuông ACE với AC = 2, CE = 4.

Do đó ${S_2} = {S_{\Delta ACE}} = \frac{1}{2}AC.CE = \frac{1}{2}.2.4 = 4$.

Ta có $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} $$ = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx} $\[ = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5\] = 5 – 9 = −4.

Do đó ${S_2} = - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} $.

c) Ta có $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $= $\int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} $$ = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} $

$ = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx} $$ = \left. {\left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5$

= 9 − 5 + 9 = 13.

Có S₁ + S₂ = 9 + 4 = 13 = $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $.

Câu 3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 2x – x² = 0 Û x = 0 hoặc x = 2.

Với x Î [0; 2] thì 2x – x² ≥ 0, với x Î [2; 3] thì 2x – x² ≤ 0.

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} $$ = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} $$ = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} $

$ = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3$$ = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Câu 4

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.

Xem đáp án

Lời giải

Với x Î [0; π] thì −1 ≤ cosx ≤ 1 nên −3 ≤ cosx − 2 ≤ −1 Þ cosx − 2 < 0.

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x - 2} \right|} dx$$ = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)} dx$$ = \left. {\left( {2x - \sin x} \right)} \right|_0^\pi $= 2π.

Câu 5

Cho hai hàm số y = 4x – x² và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4.

a) Tính diện tích S₁ của hình phẳng giới hạn bởi (P), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

b) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P), d và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hai hàm số y = 4x – x^2 và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4. (ảnh 2)

a) Ta có ${S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} $$ = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} $$ = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2$$ = \frac{{16}}{3}$.

b) Gọi A(2; 0), B(2; 2).

Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại A, có OA = 2, AB = 2.

Suy ra ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.OA.AB = \frac{1}{2}.2.2 = 2$.

Do đó $S = {S_1} - {S_{\Delta OAB}} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}$.

Câu 6

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Giải SGK Toán 12 CTST Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án

🔥 Đề thi HOT:

20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)

5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)

124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)

79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án

80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)

135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)

Nội dung liên quan:

Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Nguyên hàm có đáp án

Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Tích phân có đáp án

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Tích phân có đáp án

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án

Giải SGK Toán 12 CTST Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là V=4πR33. Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x2 – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = 5x − x2, y = x2 – x và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.

Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao x (dm) (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt nước là hình vuông có cạnh 2+x24 (dm). Tính dung tích của bình.

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=1+1x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 15). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h (Hình 16).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) Đồ thị của hàm số y = ex, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1. b) Đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 – x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=x2+1x, y = – x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x3 + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=4−x (x ≤ 4), trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2) và C(2; 0) (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục Ox.

Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h (Hình 20).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là $V = \frac{4 π R^{3}}{3}$ . Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = 5x − x², y = x² – x và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao x (dm) (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt{2 + \frac{x^{2}}{4}}$ (dm). Tính dung tích của bình.

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 1 + \frac{1}{x}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 15). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số y = e^x, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1.

b) Đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x³ – x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ , y = – x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x³ + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{4 - x}$ (x ≤ 4), trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.