Khối cầu có bán kính R là khối tròn xoay nhận được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \left( { - R \le x \le R} \right)$ và trục Ox quanh trục Ox.

Từ đó thể tích khối cầu là:

$V = \pi \int\limits_{ - R}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)dx} = \left. {\pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - R}^R = \frac{{4\pi {R^3}}}{3}$.

Câu 2/21

Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

a) Tính S₁ và so sánh với $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $.

b) Tính S₂ và so sánh với $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} $.

c) So sánh $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ với S₁ + S₂.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành (ảnh 2)

a) Gọi A(3; 0), B(0; 6), C(5; 0), E(5; −4).

Ta có S₁ chính là diện tích của tam giác vuông OAB với OA = 3, OB = 6.

Do đó ${S_1} = {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.3.6 = 9$.

Ta có $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $$ = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} $\[ = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3\] = 9.

Vậy ${S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $.

b) Ta có S₂ chính là diện tích của tam giác vuông ACE với AC = 2, CE = 4.

Do đó ${S_2} = {S_{\Delta ACE}} = \frac{1}{2}AC.CE = \frac{1}{2}.2.4 = 4$.

Ta có $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} $$ = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx} $\[ = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5\] = 5 – 9 = −4.

Do đó ${S_2} = - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} $.

c) Ta có $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $= $\int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} $$ = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} $

$ = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx} $$ = \left. {\left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5$

= 9 − 5 + 9 = 13.

Có S₁ + S₂ = 9 + 4 = 13 = $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $.

Câu 3/21

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có 2x – x² = 0 Û x = 0 hoặc x = 2.

Với x Î [0; 2] thì 2x – x² ≥ 0, với x Î [2; 3] thì 2x – x² ≤ 0.

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} $$ = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} $$ = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} $

$ = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3$$ = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Câu 4/21

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.

Xem đáp án

Lời giải

Với x Î [0; π] thì −1 ≤ cosx ≤ 1 nên −3 ≤ cosx − 2 ≤ −1 Þ cosx − 2 < 0.

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x - 2} \right|} dx$$ = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)} dx$$ = \left. {\left( {2x - \sin x} \right)} \right|_0^\pi $= 2π.

Câu 5/21

Cho hai hàm số y = 4x – x² và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4.

a) Tính diện tích S₁ của hình phẳng giới hạn bởi (P), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

b) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P), d và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hai hàm số y = 4x – x^2 và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4. (ảnh 2)

a) Ta có ${S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} $$ = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} $$ = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2$$ = \frac{{16}}{3}$.

b) Gọi A(2; 0), B(2; 2).

Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại A, có OA = 2, AB = 2.

Suy ra ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.OA.AB = \frac{1}{2}.2.2 = 2$.

Do đó $S = {S_1} - {S_{\Delta OAB}} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}$.

Câu 6/21

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Xem đáp án

Lời giải

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 2x - 1 - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} $$ = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} $.

Ta có x² – 3x = 0 Û x = 0 hoặc x = 3.

Do đó S$ = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} $

$ = \int\limits_1^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} $$ = \left. {\left( {\frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4$$ = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} - \frac{8}{3} + \frac{9}{2} = \frac{{31}}{6}$.

Câu 7/21

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = 5x − x², y = x² – x và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Xem đáp án

Lời giải

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^2 {\left| {5x - {x^2} - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|dx} $$ = \int\limits_0^2 {\left| {6x - 2{x^2}} \right|dx} $.

Ta có 6x – 2x² = 0 Û x = 0 hoặc x = 3.

Do đó S $ = \int\limits_0^2 {\left( {6x - 2{x^2}} \right)dx} $$ = \left. {\left( {3{x^2} - \frac{{2{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2$$ = \frac{{20}}{3}$.

Câu 8/21

Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.

Xem đáp án

Lời giải

Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm. (ảnh 2)

Chon hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Giả sử (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Vì (P) đi qua các điểm (0; 0), (6; 0), (3; 6) nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\36a + 6b = 0\\9a + 3b = 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.$.

Vậy (P): $y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x$.

Bài toán trở thành tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 6.

Diện tích cần tính là:

$S = \int\limits_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|} dx$$ = \int\limits_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)} dx$$ = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{9} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24$ m².

Vậy diện tích của cửa hầm là 24 m².

Câu 9/21