Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu có đáp án

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Áp dụng định lý Pythagore, ta tính được AB = 500 m.

Do đó, nếu người đó chèo thuyền thẳng từ A đến B thì tốn phút.

Ta xem xét phương án sau:

Giả sử người đó chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn x (m), rồi chạy bộ thẳng đến B.

Ta cần tìm giá trị của x để người đó tốn ít thời gian nhất.

Ta có: (m); DB = 400 – x (m) với 0 ≤ x ≤ 400.

Thời gian người đó tiêu tốn là

(phút).

Xét hàm số với 0 ≤ x ≤ 400, ta có:

;

y' = 0 ⇔  ⇔ 4x2 = x2 + 90 000

⇔ x2 = 30 000 ⇔ x =  ∈ [0; 400].

Ta có y(0) = 1 000; ; y(400) = 1 000.

Vậy .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của t là (phút), đạt được khi x =  ≈ 173 (m).

Do đó, người đó tốn ít thời gian nhất khi x =  ≈ 173 (m).

Nhận thấy 9,2 phút < 10 phút nên người đó chèo thuyền từ A thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn xấp xỉ bằng 173 m, rồi chạy bộ thẳng đến B là phương án tốn ít thời gian nhất.

Thể tích của thùng là V = x2h = 500 (dm3).

Suy ra (dm).

Vì 3 ≤ h ≤ 10 nên , suy ra .

Khi đó, tổng diện tích các mặt của thùng là

S(x) = (dm2) với .

Xét hàm số S(x) = (dm2) với .

Ta có S'(x) = ;

Trên khoảng , S'(x) = 0 ⇔ x = 10.

Có ; S(10) = 300; .

Do đó, tại x = 10.

Vậy với x = 10 dm thì S có giá trị nhỏ nhất.

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0 ⇔  

⇔ 3x2 = 4 ⇒ x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Gọi tên các điểm như hình vẽ dưới đây.

Kẻ các đường cao AF, BE của hình thang cân ABCD.

Ta chứng minh được ABEF là hình chữ nhật và DF = EC.

Khi đó ta có EF = AB = a (cm).

Đặt DF = EC = x (cm, 0 ≤ x < a).

Ta có DC = DF + FE + EC = x + a + x = 2x + a (cm).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được (cm).

 Diện tích mặt cắt ngang của máng nước hay chính là diện tích hình thang cân ABCD là S = (AB + CD) ∙ AF : 2 = (a + 2x + a) ∙  : 2 = (a + x) (cm2).

Xét hàm số S(x) = (a + x) với x ∈ [0; a).

Ta có .

S'(x) = 0 ⇔ – 2x2 – ax + a2 = 0 ⇔ (2x – a)(x + a) = 0 ⇔ x = ∈ [0; a).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại x = .

Khi đó ta có, .

Suy ra .

Vậy thì diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

Chi phí trung bình (nghìn đồng) để sản xuất một sản phẩm là

với x > 0.

Xét hàm số với x ∈ (0; + ∞).

Ta có ;

.

Ta có .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy chi phí trung bình thấp nhất là (nghìn đồng/sản phẩm), đạt được khi x = 1 000 sản phẩm.

Vậy mỗi tháng xưởng sản xuất 1 000 sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm thấp nhất.

Doanh thu mà A nhận được từ việc bán x tạ sản phẩm X (0 ≤ x ≤ 40) cho B là 

R(x) = x ∙ P(x) = x(5 – 0,0005x2) = 5x – 0,0005x3 (triệu đồng).

Lợi nhuận (triệu đồng) mà A thu được là

L(x) = R(x) – C(x) = 5x – 0,0005x3 – (10 + 3,5x)

= – 0,0005x3 + 1,5x – 10 (0 ≤ x ≤ 40).

Xét hàm số f(x) = – 0,0005x3 + 1,5x – 10 với 0 ≤ x ≤ 40, ta có:

f'(x) = – 0,0015x2 + 1,5;

f'(x) = 0 ⇔ – 0,0015x2 + 1,5 = 0 ⇔ x2 = 1 000 .

Ta có f(0) = – 10; ; f(40) = 18.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được khi .

Vậy trong một tháng B đặt hàng khoảng 31,623 tạ sản phẩm X từ A thì A nhận được lợi nhuận lớn nhất.

Gọi x (nghìn đồng, x ≥ 0) là số tiền giảm giá cho mỗi sản phẩm A.

Với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A nên với x nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10x sản phẩm A. Khi đó, mỗi tháng cửa hàng bán được số sản phẩm là 100 + 10x (sản phẩm).

Khi giảm giá x nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A thì lợi nhuận trên mỗi sản phẩm A bán ra được lúc này là 20 – x (nghìn đồng).

Rõ ràng 20 – x ≥ 0, do đó x phải thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 20.

Lợi nhuận từ việc bán sản phẩm A của cửa hàng trong một tháng sau khi giảm giá là

L(x) = (100 + 10x) ∙ (20 – x) = 2 000 + 100x – 10x2 (nghìn đồng).

Xét hàm số L(x) = 2 000 + 100x – 10x2 với x ∈ [0; 20].

Ta có L'(x) = 100 – 20x;

L'(x) = 0 ⇔ 100 – 20x = 0 ⇔ x = 5 ∈ [0; 20].

Ta có L(0) = 2 000; L(5) = 2 250; L(20) = 0.

Suy ra , đạt được tại x = 5.

Vậy cửa hàng nên giảm giá 5 nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm này là 2 triệu 250 nghìn đồng.

Đường kính của nửa hình tròn là x (m, x > 0), suy ra bán kính nửa hình tròn là (m).

Diện tích phần mặt cắt hình chữ nhật là S1 = xy (m2). (x, y > 0)

Diện tích phần mặt cắt nửa hình tròn là S2 = (m2).

Theo bài ra ta có S1 + S2 = 2 hay , suy ra .

Vì x, y > 0 nên , từ đó suy ra .

Chu vi nửa hình tròn là C1 = πx (m).  

Chu vi mặt cắt ngang là

C = (m) với .

Xét hàm số f(x) = với .

Ta có ;

f'(x) = 0 .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại .

Với thì .

Vậy (m) và (m) thì chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này bằng (m).

Gọi x, y (x > 0, y > 0, tính bằng mét) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể.

Thể tích của bể là V = 2xy = 1 800 (m3), suy ra (m).

Diện tích đáy bể là Sđ = xy (m2).

Diện tích thành bể là St = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (m2).

Giả sử chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích thành bể là a (đồng, a > 0).

Khi đó chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích đáy bể là 2a (đồng).

Tổng chi phí để xây bể bơi là

C = 2axy + a ∙ 4(x + y) = (đồng).

Xét hàm số f(x) = 1800a + 4ax + với x ∈ (0; + ∞) và a > 0.

Ta có f'(x) = 4a – ;

f'(x) = 0 ⇔ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại x = 30.

Với x = 30 m thì ta có .

Vậy với chiều rộng và chiều dài của bể bằng nhau và bằng 30 m thì tiết kiệm được chi phí xây dựng bể nhất.

Từ hình vẽ, ta tính được kích thước hình chữ nhật phần mặt nước là a – 3 (m) và b – 2 (m). Từ đó suy ra a > 3 và b > 2.

Diện tích phần mặt nước là S1 = (a – 3)(b – 2) = 54 (m2)

Suy ra (m).

Diện tích phần đường đi là S = ab – 54 = (m2).

Xét hàm số với a ∈ (3; + ∞).

Ta có ;

S'(a) = 0 .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được khi a = 12.

Với a = 12 thì ta có .

Vậy bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 12 m và 8 m thì diện tích phần đường đi là bé nhất.

Đặt BD = x (km, 0 ≤ x ≤ 4).

Ta có DC = 4 – x (km).

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có:

AD = = (km).

Giả sử chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu trên bờ là a (đồng, a > 0).

Khi đó chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu đặt dưới biển là 2a (đồng).

Tổng chi phí lắp đặt đường ống là

C = 2a + a(4 – x) = 2a + 4a – ax (đồng).

Xét hàm số f(x) = 2a + 4a – ax với x ∈ [0; 4] và a > 0.

Ta có f'(x) = ;

f'(x) = 0  

     ⇔ x2 + 9 = 4x2 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x2 = 3 ⇔ x =  ∈ [0; 4].

Ta có f(0) = 10a; ; f(4) = 10a.

Do đó, (do a > 0) tại x = .

Vậy cần đặt vị trí D nằm giữa B và C sao cho D cách B một khoảng bằng km để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất.

Ta có ;

.

Ta có .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy chi phí trung bình thấp nhất là (triệu đồng/nghìn sản phẩm), đạt được khi x = 100 (nghìn sản phẩm).

Vậy mỗi tuần xí nghiệp cần sản xuất 100 nghìn sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất.