Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu có đáp án

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Áp dụng định lý Pythagore, ta tính được AB = 500 m.

Do đó, nếu người đó chèo thuyền thẳng từ A đến B thì tốn phút.

Ta xem xét phương án sau:

Giả sử người đó chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn x (m), rồi chạy bộ thẳng đến B.

Ta cần tìm giá trị của x để người đó tốn ít thời gian nhất.

Ta có: (m); DB = 400 – x (m) với 0 ≤ x ≤ 400.

Thời gian người đó tiêu tốn là

(phút).

Xét hàm số với 0 ≤ x ≤ 400, ta có:

;

y' = 0 ⇔  ⇔ 4x2 = x2 + 90 000

⇔ x2 = 30 000 ⇔ x =  ∈ [0; 400].

Ta có y(0) = 1 000; ; y(400) = 1 000.

Vậy .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của t là (phút), đạt được khi x =  ≈ 173 (m).

Do đó, người đó tốn ít thời gian nhất khi x =  ≈ 173 (m).

Nhận thấy 9,2 phút < 10 phút nên người đó chèo thuyền từ A thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn xấp xỉ bằng 173 m, rồi chạy bộ thẳng đến B là phương án tốn ít thời gian nhất.

Thể tích của thùng là V = x2h = 500 (dm3).

Suy ra (dm).

Vì 3 ≤ h ≤ 10 nên , suy ra .

Khi đó, tổng diện tích các mặt của thùng là

S(x) = (dm2) với .

Xét hàm số S(x) = (dm2) với .

Ta có S'(x) = ;

Trên khoảng , S'(x) = 0 ⇔ x = 10.

Có ; S(10) = 300; .

Do đó, tại x = 10.

Vậy với x = 10 dm thì S có giá trị nhỏ nhất.

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0 ⇔  

⇔ 3x2 = 4 ⇒ x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Gọi tên các điểm như hình vẽ dưới đây.

Kẻ các đường cao AF, BE của hình thang cân ABCD.

Ta chứng minh được ABEF là hình chữ nhật và DF = EC.

Khi đó ta có EF = AB = a (cm).

Đặt DF = EC = x (cm, 0 ≤ x < a).

Ta có DC = DF + FE + EC = x + a + x = 2x + a (cm).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được (cm).

 Diện tích mặt cắt ngang của máng nước hay chính là diện tích hình thang cân ABCD là S = (AB + CD) ∙ AF : 2 = (a + 2x + a) ∙  : 2 = (a + x) (cm2).

Xét hàm số S(x) = (a + x) với x ∈ [0; a).

Ta có .

S'(x) = 0 ⇔ – 2x2 – ax + a2 = 0 ⇔ (2x – a)(x + a) = 0 ⇔ x = ∈ [0; a).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại x = .

Khi đó ta có, .

Suy ra .

Vậy thì diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.