Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án

Do d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 5t\\y = 3 + 11t\\z = 9 - 6t\end{array} \right.\] nên d đi qua điểm M(7; 3; 9) và có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u \] = (5; 11; −6).

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 5\\z = 7t\end{array} \right.\].

b) Ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \left( {2;2;3} \right)\] là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.\].

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: \[\frac{{x - 9}}{5} = \frac{x}{{ - 11}} = \frac{z}{4}\].

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;3;3} \right)\] là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[\frac{{x - 6}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{3}\].

c) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 1 + 7t\\z = 3 - 6t\end{array} \right.\]

          ⇒ \[\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{x}{2}\\t = \frac{{y + 1}}{7}\\t = \frac{{z - 3}}{{ - 6}}\end{array} \right.\]

nên phương trình chính tắc của đường thẳng d là: \[\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{7} = \frac{{z - 3}}{{ - 6}}\].

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 1) và nhận \[\overrightarrow a \] = (1; 3; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(2; 7; −1) và nhận \[\overrightarrow {a'} \]= (2; 6; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} = \left( {2;6; - 2} \right)\\\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a = \overrightarrow {MM'} \end{array} \right.\], suy ra \[\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} ,\overrightarrow {MM'} \] cùng phương.

Do đó d ≡ d'.

b) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0; 0) và nhận \[\overrightarrow a \] = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d' đi qua điểm M'(0; 0; 0) và nhận \[\overrightarrow {a'} \]= (4; 6; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;0;0} \right)\\\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a \\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;2; - 6} \right) \ne \overrightarrow {0.} \end{array} \right.\]

Do đó d ∥ d'.

c) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 2) và nhận \[\overrightarrow a \] = (1; 1; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng  d' đi qua điểm M'(2; 2; 1) và nhận \[\overrightarrow {a'} \]= (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} = \left( {1;0;5} \right)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = \left( { - 1;0;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0.\end{array} \right.\]

Do đó hai đường thẳng d và d' chéo nhau.

a) Ta có: cosα = \[\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.5 + 1.2 - 1.7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0\] ⇒ α = 90°.

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\] và \[\overrightarrow {a'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\].

Khi đó, cosα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).2 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] ⇒ α = 30°.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là \[\overrightarrow n = \left( {4;2; - 1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;1;6} \right)\].

Khi đó cosα = \[\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 - 1.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0\] ⇒ α = 90°.

d) Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {2; - 1;1} \right),\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\].

Khi đó sinα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\] ⇒ α = 0°.