Câu hỏi:
19/09/2024 9,010
Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).
a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.
b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.
Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).
a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.
b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \[\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;4;3} \right),\overrightarrow {NA} = \left( {5;2;4} \right)\], suy ra
MA = \[\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} \]= \[\sqrt {34} \]≈ 5,8 (m),
NA = \[\sqrt {{5^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {45} \] ≈ 6,7 (m).
b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {OM} = \left( {3; - 4;3} \right),\overrightarrow {ON} = \left( { - 5 - 2;2} \right)\] nên có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&3\\{ - 2}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&3\\2&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)\]
= (−2; −21; −26).
Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).
Ta có: sinα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - 3.\left( { - 2} \right) + 4.\left( { - 21} \right) + 3.\left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }}\]
= \[\frac{{156}}{{\sqrt {38114} }}\].
⇒ α ≈ 53°;
Sinβ = \[\frac{{\left| {\overrightarrow {NA} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 21} \right) + 4.\left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }}\]
\[ = \frac{{156}}{{\sqrt {50445} }}\].
⇒ β ≈ 44°.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi O là trung điểm của AB, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.
Ta có: S(0; 0; 6), A(2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C(−2; 4; 0), D(2; 4; 0).
a) Ta có: \[\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;4;0} \right)\].
Suy ra cosα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow {SD} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\left| {2.0 + 4.4 - 6.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{7}\] ⇒ α ≈ 57,7°.
b) Mặt phẳng (SAD) có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right)\], \[\overrightarrow {SA} = \left( {2;0; - 6} \right)\].
Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {SA} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 6}\\0&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}&2\\{ - 6}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\2&0\end{array}} \right|} \right)\] = (−24; 0; −8) = −8(3; 0; 1).
Vậy \[\overrightarrow n = \left( {3;0;1} \right)\] là vectơ pháp tuyến của (SAD).
Mặt phẳng (SCD) có cặp vectơ chỉ phương là: \[\overrightarrow {DC} = \left( { - 4;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right)\].
Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 6}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}&2\\0&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\{ - 4}&0\end{array}} \right|} \right)\] = (0; 24; 16) = 8(0; 3; 2).
Vậy \[\overrightarrow {n'} = \left( {0;3;2} \right)\].
Suy ra cosβ = \[\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {3.0 + 0.3 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {130} }}\] ⇒ β ≈ 79,9°.
Lời giải
a) Ta có: cosα = \[\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.5 + 1.2 - 1.7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0\] ⇒ α = 90°.
b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\] và \[\overrightarrow {a'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\].
Khi đó, cosα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).2 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] ⇒ α = 30°.
c) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là \[\overrightarrow n = \left( {4;2; - 1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;1;6} \right)\].
Khi đó cosα = \[\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 - 1.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0\] ⇒ α = 90°.
d) Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {2; - 1;1} \right),\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\].
Khi đó sinα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\] ⇒ α = 0°.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo