Câu hỏi:

19/09/2024 4,774

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính góc α giữa hai đường thẳng SD và BC;

b) Tính góc β giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S có chiều cao bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. (ảnh 1)

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Ta có: S(0; 0; 6), A(2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C(−2; 4; 0), D(2; 4; 0).

a) Ta có: \[\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;4;0} \right)\].

Suy ra cosα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow {SD} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\left| {2.0 + 4.4 - 6.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{7}\] ⇒ α ≈ 57,7°.

b) Mặt phẳng (SAD) có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right)\], \[\overrightarrow {SA} = \left( {2;0; - 6} \right)\].

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {SA} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 6}\\0&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}&2\\{ - 6}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\2&0\end{array}} \right|} \right)\] = (−24; 0; −8) = −8(3; 0; 1).

Vậy \[\overrightarrow n = \left( {3;0;1} \right)\] là vectơ pháp tuyến của (SAD).

Mặt phẳng (SCD) có cặp vectơ chỉ phương là: \[\overrightarrow {DC} = \left( { - 4;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right)\].

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 6}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}&2\\0&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&4\\{ - 4}&0\end{array}} \right|} \right)\] = (0; 24; 16) = 8(0; 3; 2).

Vậy \[\overrightarrow {n'} = \left( {0;3;2} \right)\].

Suy ra cosβ = \[\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {3.0 + 0.3 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {130} }}\] ⇒ β ≈ 79,9°.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Người ta muốn dựng một cột ăng – ten trên một sườn đồi. Ăng – ten được dựng thẳng đứng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng – ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (Hình 6). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; −4; 3), N(−5; −2; 2).

a) Tính độ dài các đoạn dây cáp MA và NA.

b) Tính góc tạo bởi các sợi dây cáp MA, NA với mặt phẳng sườn đồi.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: \[\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;4;3} \right),\overrightarrow {NA} = \left( {5;2;4} \right)\], suy ra

MA = \[\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} \]= \[\sqrt {34} \]≈ 5,8 (m),

NA = \[\sqrt {{5^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {45} \] ≈ 6,7 (m).

b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {OM} = \left( {3; - 4;3} \right),\overrightarrow {ON} = \left( { - 5 - 2;2} \right)\] nên có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&3\\{ - 2}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&3\\2&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)\]

= (−2; −21; −26).

Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).

Ta có: sinα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - 3.\left( { - 2} \right) + 4.\left( { - 21} \right) + 3.\left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }}\]

= \[\frac{{156}}{{\sqrt {38114} }}\].

⇒ α ≈ 53°;

Sinβ = \[\frac{{\left| {\overrightarrow {NA} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 21} \right) + 4.\left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }}\]

\[ = \frac{{156}}{{\sqrt {50445} }}\].

⇒ β ≈ 44°.

Câu 2

Tính góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) α là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow a = \left( {1;1; - 1} \right)\] và \[\overrightarrow b = \left( {5;2;7} \right)\];

b) α là góc giữa hai đường thẳng d: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - \sqrt 3 t\\z = 5\end{array} \right.\] và d': \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 t'\\y = 7 + t'\\z = 9\end{array} \right.\];

c) α là góc giữa hai mặt phẳng (P): 4x + 2y – z + 9 = 0 và (Q): x + y + 6z – 11 =0;

d) α là góc giữa đường thẳng d: \[\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\] và mặt phẳng (P): x + y − z + 99 = 0.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: cosα = \[\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.5 + 1.2 - 1.7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0\] ⇒ α = 90°.

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\] và \[\overrightarrow {a'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)\].

Khi đó, cosα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).2 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] ⇒ α = 30°.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là \[\overrightarrow n = \left( {4;2; - 1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;1;6} \right)\].

Khi đó cosα = \[\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 - 1.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0\] ⇒ α = 90°.

d) Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là \[\overrightarrow a = \left( {2; - 1;1} \right),\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\].

Khi đó sinα = \[\frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0\] ⇒ α = 0°.

Câu 3

Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(1; −5; 0) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = \left( {2;0;7} \right)\];

b) d đi qua hai điểm M(3; −1; −1); N(5; 1; 2).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(9; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = \left( {5; - 11;4} \right)\];

b) d đi qua hai điểm A(6; 0; −1), B(8; 3; 2);

c) d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 1 + 7t\\z = 3 - 6t\end{array} \right.\].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đường thẳng d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 5t\\y = 3 + 11t\\z = 9 - 6t\end{array} \right.\].

Tìm một điểm trên d và một vectơ chỉ phương của d.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Xét phương trình tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau:

a) d: \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\] và d': \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 7 + 6t'\\z = - 1 - 2t'\end{array} \right.\];

b) d: \[\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}\] và d': \[\frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}\];

c) d: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - t\end{array} \right.\] và d': \[\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\];

d) \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\] và d': \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 7\end{array} \right.\].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a) d đi qua điểm A(1; −5; 0) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = \left( {2;0;7} \right)\]; b) d đi qua hai điểm M(3; −1; −1); N(5; 1; 2).

Cho đường thẳng d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 5t\\y = 3 + 11t\\z = 9 - 6t\end{array} \right.\]. Tìm một điểm trên d và một vectơ chỉ phương của d.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(1; −5; 0) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = \left( {2;0;7} \right)\];

b) d đi qua hai điểm M(3; −1; −1); N(5; 1; 2).

Cho đường thẳng d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 5t\\y = 3 + 11t\\z = 9 - 6t\end{array} \right.\].

Tìm một điểm trên d và một vectơ chỉ phương của d.