Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Phương trình mặt phẳng có đáp án

Trong không gian Oxyz, để xác định một mặt phẳng ta cần biết được 1 điểm mà đường thẳng đó đi và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

a) Qua một điểm M₀ cố định trong không gian, có một mặt phẳng (α) vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow n \).

b) Qua một điểm M₀ cố định trong không gian, có một mặt phẳng (α) song song hoặc chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \).

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;0;5} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Ta có (OAB) Ì (Oxy) mà Oz ^ (Oxy). Do đó \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).

+) \(\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} \) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (A'B'C').

+) Vì BB' ^ (A'B'C') nên \(\overrightarrow {BB'} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'B'C').

a) \(\overrightarrow n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right) \ne \overrightarrow 0 \).

b) Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow n = {a_1}.\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}.\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}.\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

\( = \left( {{a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2}} \right) + \left( {{a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3}} \right) + \left( {{a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1}} \right)\)

\( = \left( {{a_1}{a_2}{b_3} - {a_2}{a_1}{b_3}} \right) + \left( {{a_2}{a_3}{b_1} - {a_3}{a_2}{b_1}} \right) + \left( {{a_3}{a_1}{b_2} - {a_1}{a_3}{b_2}} \right) = 0\).

\(\overrightarrow b .\overrightarrow n = {b_1}.\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}.\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}.\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

\( = \left( {{a_2}{b_3}{b_1} - {a_3}{b_2}{b_1}} \right) + \left( {{a_3}{b_1}{b_2} - {a_1}{b_3}{b_2}} \right) + \left( {{a_1}{b_2}{b_3} - {a_2}{b_1}{b_3}} \right)\)

\( = \left( {{a_2}{b_3}{b_1} - {a_2}{b_1}{b_3}} \right) + \left( {{a_3}{b_1}{b_2} - {a_3}{b_2}{b_1}} \right) + \left( {{a_1}{b_2}{b_3} - {a_1}{b_3}{b_2}} \right) = 0\).

c) Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow n = 0;\overrightarrow b .\overrightarrow n = 0\) nên \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow n ;\overrightarrow b \bot \overrightarrow n \).

Do đó \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;0;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {9;6; - 2} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q).

Có \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&4\\6&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 2}\\{ - 2}&9\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\9&6\end{array}} \right|} \right)\] = \(\left( { - 24;32; - 12} \right)\).

Do đó mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2;1; - 5} \right)\) có giá song song với ngón cái.

Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\).

Có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M} = 7\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right)\) = 7x + 5y + 2z – 23.

a) Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;2; - 3} \right)\).

Mặt phẳng (β) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;0;4} \right)\).

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình (α) ta được: 2.1 + 2.0 – 3.1 – 4 = −5 ≠ 0.

Vậy M không thuộc mặt phẳng (α).

Thay tọa độ điểm N vào phương trình (α) ta được: 2.1 + 2.1 – 3.0 – 4 = 0.

Vậy N thuộc mặt phẳng (α).

a) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\).

b) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\).

c) Mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát là: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

a) Có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).

Mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 2; 1) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3x + (y – 2) – 6(z – 1) = 0 Û 3x + y – 6z + 4 = 0.

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\) là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α).

b) Có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\0&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\5&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).

Mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

c) Mặt phẳng (α) đi qua A(0; 1; 1) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −4x + 10(y – 1) – 11(z – 1) = 0 Û −4x + 10y – 11z + 1 = 0.

a) (P) đi qua điểm A(2; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {5; - 2;7} \right)\) có phương trình là: 5(x – 2) – 2y + 7(z + 1) = 0 hay 5x – 2y + 7z – 3 = 0.

b) Có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\0&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\3&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).

(P) đi qua điểm B(−2; 3; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: (x + 2) – 3(y – 3) – 4z = 0 Û x – 3y – 4z + 11 = 0.

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\).

Có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2; 1; 5) và nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;3; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là (x – 2) + 3(y – 1) – 2(z – 5) = 0 Û x + 3y – 2z + 5 = 0.

d) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M(7; 0; 0), N(0; −2; 0), P(0; 0; 9) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\) Û −18x + 63y – 14z + 126 = 0.

+) Phương trình mặt phẳng (O'AB) đi qua A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), O'(0; 0; 5) có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\) Û 15x + 10y + 6z – 30 = 0.

+) Ta có A'(2; 0; 5), B'(0; 3; 5).

Có \(\overrightarrow {O'A'} = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {O'B'} = \left( {0;3;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {O'A'} ,\overrightarrow {O'B'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\3&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\0&3\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;6} \right)\).

Mặt phẳng (O'A'B') đi qua O'(0; 0; 5) và nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {O'A'} ,\overrightarrow {O'B'} } \right] = \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: z – 5 = 0.

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 4;6} \right) = 2\overrightarrow {{n_\alpha }} \).

Hai vectơ pháp tuyến cùng phương với nhau.

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình (α) ta được: −1 + 1 = 0.

Vậy điểm M Î (α).

Thay tọa độ điểm M vào vào phương trình (β) ta được 2.(−1) + 1 = −1 ≠ 0.

Vậy điểm M Ï (β).

c) Vì \(\overrightarrow {{n_\beta }} = 2\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và M Î (α), M Ï (β) nên (α) song song với (β).

Mặt phẳng (E) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_E}} = \left( {2; - 1;8} \right)\).

a) Mặt phẳng (F) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_F}} = \left( {8; - 4;32} \right) = 4\left( {2; - 1;8} \right) = 4\overrightarrow {{n_E}} \) và 7 ≠ 4.1. Do đó (E) // (F).

b) Mặt phẳng (H) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_H}} = \left( {6; - 3;24} \right) = 3\left( {2; - 1;8} \right) = 3\overrightarrow {{n_E}} \) và 3 = 3.1. Do đó (E) ≡ (F).

c) Mặt phẳng (G) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_G}} = \left( {10; - 5;41} \right)\).

Do \(\overrightarrow {{n_E}} \) và \(\overrightarrow {{n_G}} \) không cùng phương nên hai mặt phẳng (E) và (G) không song song với nhau.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6;5;1} \right)\).

Vì (P) // (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6;5;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 1; 1) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6;5;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 6(x – 1) + 5(y – 1) + (z – 1) = 0 Û 6x + 5y + z – 12 = 0.

a) Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 10;5} \right)\).

b) \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.5 + 2.\left( { - 10} \right) + 1.5 = 0\).

Do đó (α) ^ (β).

Có \(\overrightarrow {{n_F}} = \left( {3;2;5} \right),\overrightarrow {{n_H}} = \left( {1; - 4;1} \right),\overrightarrow {{n_G}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_F}} .\overrightarrow {{n_H}} = 3.1 + 2.\left( { - 4} \right) + 5.1 = 0\). Do đó (F) ^ (H).

a) Vì M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (α) nên M₁M₀ ^ (α).

Do đó hai vectơ \[\overrightarrow {{M_1}{M_0}} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1};{z_0} - {z_1}} \right)\] và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) cùng phương với nhau.

b) \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = A\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + B\left( {{y_0} - {y_1}} \right) + C\left( {{z_0} - {z_1}} \right)\)

= Ax₀ + By₀ + Cz₀ – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Vì M₁(x₁; y₁; z₁) Î (α) nên ta có Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 Û D = – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Do đó \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n \) = Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D.

c) Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right)\).

Mà do hai vectơ \[\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \] và \(\overrightarrow n \) cùng phương với nhau nên \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 0^\circ \) hoặc\(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 180^\circ \).

+) Nếu \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 0^\circ \) thì \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|\).

+) Nếu \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 180^\circ \) thì \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = - \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|\).

Do đó \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\].

d) Vì \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\] nên

\(d\left( {{M_0},\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Mặt phẳng (MNP) đi qua M(2; 1; 2), N(3; 3; 3), P(4; 5; 6) nên có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;2;1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( {2;4;4} \right)\).

Do đó mặt phẳng (MNP) có một vectơ pháp tuyến là

\[\overrightarrow n = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \frac{1}{2}\left( {2.4 - 1.4;1.2 - 1.4;1.4 - 2.2} \right) = \left( {2; - 1;0} \right)\].

Mặt phẳng (MNP) đi qua M(2; 1; 2) và nhận \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1;0} \right)\] làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 2(x – 2) – (y – 1) = 0 Û 2x – y – 3 = 0.

Chiều cao của hình chóp chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (MNP).

Ta có \(d\left( {O,\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).

b) Lấy điểm A(1; −13; 0) Î (R).

Vì (R) // (S) nên \(d\left( {A,\left( S \right)} \right) = d\left( {\left( R \right),\left( S \right)} \right) = \frac{{\left| {16 + 12.\left( { - 13} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{\left| { - 142} \right|}}{{20}} = \frac{{71}}{{10}}\).

Vì ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) và O là tâm của hình vuông nên ta có:

\(OA = OB = OC = OD = a\).

Khi đó ta có O(0; 0; 0), A(−a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; 2a), C(a; 0; 0).

Mặt phẳng (SAB) đi qua A(−a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; 2a) có phương trình theo đoạn chắn là:

\(\frac{x}{{ - a}} + \frac{y}{a} + \frac{z}{{2a}} = 1\) hay −2x + 2y + z = 2a hay −2x + 2y + z – 2a = 0.

Ta có \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2a - 2a} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{4a}}{3}\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{4}{3}a\).

a) Mặt phẳng qua điểm A(2; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 2) + y – z = 0 Û 2x + y – z – 4 = 0.

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {2.1 - 0.3;3.\left( { - 2} \right) - 1.1;1.0 + 2.2} \right) = \left( {2; - 7;4} \right)\).

Mặt phẳng đi qua điểm B(1; 2; 3) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 7;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) – 7(y – 2) + 4(z – 3) = 0 Û 2x – 7y + 4z = 0.

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1\) Û 4x + 2y + z – 4 = 0.

a) Mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là z = 0.

Mặt phẳng (Oyz) nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x = 0.

Mặt phẳng (Oxz) nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là y = 0.

b) Mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 9; 8) và song song với mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là z – 8 = 0.

Mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 9; 8) và song song với mặt phẳng (Oyz) nhận \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x + 1 = 0.

Mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 9; 8) và song song với mặt phẳng (Oxz) nhận \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là y – 9 = 0.

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\], \(\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 6;2} \right)\).

a) Mặt phẳng (ABC) có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right)\] là cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABC) nhận

\(\overrightarrow n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \frac{1}{4}\left( {5.1 - 1.1; - 1.0 + 1.4;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) - 0.5} \right) = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(4; 0; 2) và \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là (x – 4) + y + (z – 2) = 0 Û x + y + z – 6 = 0.

Mặt phẳng (ABD) nhận \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right)\], \[\overrightarrow {AD} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\] làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABD) nhận

\(\overrightarrow {n'} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {5.3 - 1.1;\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 3.4;\left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) + 1.5} \right) = \left( {14;13;9} \right)\).

Mặt phẳng (ABD) đi qua điểm A(4; 0; 2) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {14;13;9} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 14(x – 4) + 13y + 9(z – 2) = 0 Û 14x + 13y + 9z – 74 = 0.

b) Mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 6;2} \right)\), \[\overrightarrow {AD} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\] làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (P) nhận

\[\overrightarrow {{n_P}} = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 6.3 + 1.2;2.\left( { - 1} \right) - 3.4;4.\left( { - 1} \right) - 1.6} \right) = \left( {8;7;5} \right)\].

Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(0; 5; 1) và nhận \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {8;7;5} \right)\] làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 8x + 7(y – 5) + 5(z – 1) = 0 Û 8x + 7y + 5z – 40 = 0.

Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 5;4} \right)\).

Vì (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 5;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm C(1; −5; 0) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 5;4} \right)\) có phương trình là 3(x – 1) – 5(y + 5) + 4z = 0 Û 3x – 5y + 4z – 28 = 0.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 1;1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \frac{1}{4}\left( {2.1 + 1.2;2.2 - 1.4;4.\left( { - 1} \right) - 2.2} \right) = \left( {1;0; - 2} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 1) và nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;0; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 1 – 2(z – 1) = 0 Û x – 2z + 1 = 0.

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; - 2;6} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;2;2} \right)\).

Có \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 2.2 - 2.6;6.2 - 2.4;4.2 + 2.2} \right) = \left( { - 16;4;12} \right)\).

Mặt phẳng (R) đi qua điểm A(1; 2; −1) và nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 4;1;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

 −4(x – 1) + (y – 2) + 3(z + 1) = 0 Û 4x – y – 3z – 5 = 0.

+) \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1\).

Lấy A(2; 0; 0) Î (P).

Ta có \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 6\).

Ta có A ≡ O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), S(0; 0; 3a), C(2a; 5a; 0).

Suy ra \(\overrightarrow {SB} = \left( {2a;0; - 3a} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {2a;5a; - 3a} \right)\).

Có \(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3a}\\{5a}&{ - 3a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3a}&{2a}\\{ - 3a}&{2a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2a}&0\\{2a}&{5a}\end{array}} \right|} \right) = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)\).

Mặt phẳng (SBC) đi qua điểm S(0; 0; 3a) và nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{5{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {3;0;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3x + 2(z – 3a) = 0 Û 3x + 2z – 6a = 0.

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6a} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6a}}{{\sqrt {13} }}\).

Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6;2; - 2} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1; - 3;0} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = 2\left( {3;1; - 1} \right) = 2\overrightarrow {{n_P}} \) và 11 ≠ 2.2. Do đó (P) // (Q).

Có \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_R}} = 3.1 + 1.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0\). Do đó (P) ^ (R).

Có \(\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_R}} = 6.1 + 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).0 = 0\). Do đó (Q) ^ (R).