Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Phương trình mặt phẳng có đáp án

Trong không gian Oxyz, làm thế nào để xác định một mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ?

a) Cho vectơ $\overrightarrow{n}$ khác $\overrightarrow{0}$. Qua một điểm M₀ cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (α) vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{n}$?

b) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương. Qua một điểm M₀ cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng (α) song song hoặc chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \)?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5).

a) Tìm tọa độ của một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Tìm tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).

Một lăng kính có dạng hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều ở Hình 3a được vẽ lại như Hình 3b. Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'B'C').

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\overrightarrow n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).

a) Vectơ \(\overrightarrow n \) có khác \(\overrightarrow 0 \) hay không?

b) Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow n ;\overrightarrow b .\overrightarrow n \).

c) Vectơ \(\overrightarrow n \) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) không?

Cho mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A(1; 1; 1), B(−1; 1; 5), C(10; 7; −1). Tìm cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của (Q).

Cho biết hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(2;1;1\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(1;-2;0\right)$ có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình 5. Tìm vectơ n có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(1; 2; 3) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(7;5;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Gọi M(x; y; z) là một điểm tùy ý trong không gian. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_{0}M}$ theo x, y, z.

Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình tổng quát là (α): 2x + 2y – 3z – 4 = 0 và (β): x + 4z – 12 = 0.

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (α), (β).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (α) trong số các điểm: M(1; 0; 1), N(1; 1; 0).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Gọi M(x; y; z) là một điểm tùy ý trong không gian.

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).

b) Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M} \).

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(0; 2; 1) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(1;3;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;0;1\right)$.

a) Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

b) Lập phương trình của mặt phẳng (α).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(2; 4; 3), C(5; 3; 1).

a) Tìm tọa độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (α).

b) Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

c) Lập phương trình của mặt phẳng (α).

Viết phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ OAB.O'A'B'. Biết O là gốc tọa độ, A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), O'(0; 0; 5). Viết phương trình các mặt phẳng (O'AB) và (O'A'B').

Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình là (α): x – 2y + 3z + 1 = 0 và (β): 2x – 4y + 6z + 1 = 0.

a) Nêu nhận xét về các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng trên.

b) Cho điểm M(−1; 0; 0). Hãy cho biết các mặt phẳng (α), (β) có đi qua M không.

c) Giải thích tại sao (α) song song với (β).

Mặt phẳng (E): 2x – y + 8z + 1 = 0 song song với mặt phẳng nào sau đây?

a) (F): 8x – 4y + 32z + 7 = 0;

b) (H): 6x – 3y + 24z + 3 = 0;

c) (G): 10x – 5y + 41z + 1 = 0.

Trên bản thiết kế đồ họa 3D của một cách đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): 6x + 5y + z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 1; 1) và song song với (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q).

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình là (α): 3x + 2y + z + 1 = 0 và (β): 5x – 10y + 5z + 9 = 0.

Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau:

(F): 3x + 2y + 5z + 3 = 0; (H): x – 4y + z + 23 = 0; (G): x – y + 3z + 24 = 0.

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5 m (Hình 16). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của (P) trong không gian Oxyz được mô tả như trong hình vẽ.