Vì ${\left( { - \frac{1}{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{x^2}}}$ nên hàm số $y = - \frac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{{{x^2}}}$.

Câu 3/25

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx} = \sin x + 2\cos x + C$.

B. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx} = - \sin x + 2\cos x + C$.

C. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx} = \sin x - 2\cos x + C$.

D. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx} = - \sin x - 2\cos x + C$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có$\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx} = \sin x + 2\cos x + C$.

Câu 4/25

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$.

B. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C$.

C. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C$.

D. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$.

Câu 5/25

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int {{3^{2x}}dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C$.

B. $\int {{3^{2x}}dx} = {9^x}.\ln 9 + C$.

C. $\int {{3^{2x}}dx} = {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right)^2} + C$.

D. $\int {{3^{2x}}dx} = {3^x}.\ln 3 + C$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int {{3^{2x}}dx = } \int {{9^x}dx = } = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C$.

Câu 6/25

Giá trị của $\int_{- 2}^{1} (4 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x) d x + \int_{1}^{2} (4 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x) d x$ bằng

A. 16.

B. −16.

C. 52.

D. 0.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)dx} $

$ = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 8x} \right)dx} $

$ = \left. {\left( {{x^4} + {x^3} + 4{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^2$

= 40 – 24 = 16.

Câu 7/25

Biết rằng $\int_{0}^{2} f (x) d x = - 4$ . Giá trị của $\int_{0}^{2} [3 x - 2 f (x)] d x$ bằng

A. −2.

B. 12.

C. 14.

D. 22.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int\limits_0^2 {\left[ {3x - 2f\left( x \right)} \right]dx} $$ = 3\int\limits_0^2 {xdx} - 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} $$ = \left. {\frac{{3{x^2}}}{2}} \right|_0^2 - 2\left( { - 4} \right) = 14$.

Câu 8/25

Giá trị của $\int_{0}^{2} |x^{2} - x| d x$ bằng

A. $\frac{2}{3}$ .

B. 1.

C. $\frac{1}{3}$ .

D. 2.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} $$ = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} $$ = \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} $

$ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2$$ = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = 1$.

Câu 9/25