Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {10dt = 10t + C} } \).

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).

Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {10tdt} = 5{t^2} + C\).

Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t² (m).

Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.

Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t² mét.

Ta có F(x) = x² vì (x²)' = 2x.

a) Ta có F'(x) = (x³)' = 3x² = f(x).

Do đó F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Có H(x) = F(x) + C = x³ + C.

Có H'(x) = (x³ + C)' = 3x² = f(x).

Do đó hàm số H(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

c) Có (G(x) – F(x))' = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0.

Vì (G(x) – F(x))' = 0 nên G(x) – F(x) là một hằng số.

Hay G(x) = F(x) + C, C là hằng số bất kì.

Có F'(x) = (e^{2x + 1})' = e^{2x + 1}.(2x + 1)' = 2e^{2x + 1} = f(x).

Vậy F(x) = e^{2x + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^{2x + 1} trên ℝ.

a) Vì (C)' = 0 nên \(\int {0dx = C} \).

Vì (x + C)' = 1 nên \(\int {1dx = x + C} \).

b) Có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)^\prime }\)\( = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\).

Do đó \(\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C,\left( {\alpha \ne - 1} \right)\).

a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).

b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \)\( = \int {{x^{ - 3}}dx = - \frac{1}{2}} {x^{ - 2}} + C = \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + C\).

c) \(\int {\sqrt x dx} \)\( = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} \)\( = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\).

a) Với x > 0 thì F(x) = lnx Þ F'(x) = \(\frac{1}{x}\).

Với x < 0 thì F(x) = ln(−x) \( \Rightarrow F'\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^\prime }}}{{ - x}} = \frac{1}{x}\).

Vậy \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x},x \ne 0\).

b) Có \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C\).

a) Ta có (sinx)' = cosx, (−cosx)' = sinx, \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\), \({\left( { - \cot x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

b) \(\int {\cos xdx = \sin x + C,\int {\sin xdx = - \cos x + C,} } \)

\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\).

Có \(F\left( x \right) = \int {\cos xdx = \sin x + C} \).

Vì \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(\sin 0 + C + \sin \frac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow 2C = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow C = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

a) Có (e^x)' = e^x, \({\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)^\prime } = \frac{{{a^x}.\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\), a > 0, a ≠ 1.

b) \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\).

\(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\), (a > 0, a ≠ 1).

a) Ta có \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\).

b) Ta có \(\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).

a) \(\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C'\); \(3\int {{x^2}dx} = 3\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + C'} \right) = {x^3} + 3C' = {x^3} + C\).

b) \(\int {3{x^2}dx} = {x^3} + C\).

c) \(\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx} = {x^3} + C\).

a) \(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx} \)\( = - \frac{1}{4}\int {\cos xdx} \)\( = - \frac{1}{4}\sin x + C\).

b) \(\int {{2^{2x + 1}}dx} \)\( = \int {{4^x}.2dx} \)\( = 2\int {{4^x}dx} \)\( = 2.\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).

a) \(\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1},\int {2xdx} = {x^2} + {C_2}\).

\(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1} + {x^2} + {C_2} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).

b) \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).

c) \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).

a) \[\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx} = \int {3{x^3}dx} + \int {\frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}dx} \]\[ = 3\int {{x^3}dx} + 2\int {{x^{\frac{{ - 3}}{5}}}dx} \]\[ = \frac{{3{x^4}}}{4} + 5{x^{\frac{2}{5}}} + C\].

b) \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)\( = 3\tan x + \cot x + C\).

Kí hiệu s(t) là quãng đường ô tô đi được.

Ta có $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(19-2t\right)dt=19t-t^2+C$.

Vì s(0) = 0 Þ C = 0.

Do đó s(t) = 19t – t².

Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây là: s(1) = 19.1 – 1² = 18 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 2 giây là: s(2) = 19.2 – 2² = 34 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 3 giây là: s(3) = 19.3 – 3² = 48 m.

Có F'(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1 + x)e^x.

Do đó $\int f\left(x\right)dx=\int \left(x+1\right)e^{x}dx=x{e}^x+C$.

a) \(\int {{x^5}dx} = \frac{{{x^6}}}{6} + C\).

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} dx = \int {{x^{\frac{{ - 2}}{3}}}} dx = 3{x^{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C\).

c) \(\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\).

d) \(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}} dx = \int {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{3}{5}}}\).

Có \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \( - \cot \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) = - \cot x + 1\).

a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)\( = 2\int {{x^5}dx} + 3\int {dx} \)\( = \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C\).

b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)\( = 5\int {\cos xdx} - 3\int {\sin xdx} \)\( = 5\sin x + 3\cos x + C\).

c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)} dx\)\( = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx - 2\int {\frac{1}{x}} dx\)\( = \frac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2\ln \left| x \right| + C\)\( = \frac{1}{3}x\sqrt x - 2\ln \left| x \right| + C\).

d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = \frac{1}{{{e^2}}}\int {{e^x}dx} - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)\( = \frac{{{e^x}}}{{{e^2}}} + 2\cot x + C\)\( = {e^{x - 2}} + 2\cot x + C\).

a) \(\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} \)\( = \int {x\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)dx} \)\( = \int {\left( {4{x^3} - 12{x^2} + 9x} \right)dx} \)

\( = {x^4} - 4{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} + C\).

b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)\( = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx} \)\( = \frac{1}{2}\int {dx} - \frac{1}{2}\int {\cos xdx} \)\( = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C\).

c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \)\( = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx} \)\( = \tan x - x + C\).

d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}dx} \)\( = \int {{8^x}{{.3}^x}dx} \)\( = \int {{{24}^x}dx} \)\( = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C\).

a) Chiều cao của cây sau x năm là:

\(h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx = \int {\frac{1}{x}} } dx = \ln x + C\) (1 ≤ x ≤ 11).

Có h(1) = 2 nên  ln1 + C = 2 Þ C = 2.

Do đó \(h\left( x \right) = \ln x + 2,\;\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Cây cao 3 m tức là \(\ln x + 2 = 3\)\( \Leftrightarrow \ln x = 1\)\( \Leftrightarrow x = e \approx 2,72\).

Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.

Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {2dt = 2t + C} } \).

Mà v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó v(t) = 2t + 10.

Có \(s\left( t \right) = \int {\left( {2t + 10} \right)dt} = {t^2} + 10t + C\).

Vì s(0) = 0 Þ C = 0.

Do đó s(t) = t² + 10t.

Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s(3) = 3² + 10.3 = 39 (m).