Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {2dt = 2t + C} } \).

Mà v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó v(t) = 2t + 10.

Có \(s\left( t \right) = \int {\left( {2t + 10} \right)dt} = {t^2} + 10t + C\).

Vì s(0) = 0 Þ C = 0.

Do đó s(t) = t² + 10t.

Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s(3) = 3² + 10.3 = 39 (m).

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {10dt = 10t + C} } \).

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).

Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {10tdt} = 5{t^2} + C\).

Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t² (m).

Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.

Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t² mét.