Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Gọi M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (α) (Hình 17).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1};{z_0} - {z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).

b) Tính \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n \) theo A, B, C, D và tọa độ của M₀.

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\].

d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính \(d\left( {{M_0},\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\).

a) Vì M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (α) nên M₁M₀ ^ (α).

Do đó hai vectơ \[\overrightarrow {{M_1}{M_0}} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1};{z_0} - {z_1}} \right)\] và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) cùng phương với nhau.

b) \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = A\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + B\left( {{y_0} - {y_1}} \right) + C\left( {{z_0} - {z_1}} \right)\)

= Ax₀ + By₀ + Cz₀ – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Vì M₁(x₁; y₁; z₁) Î (α) nên ta có Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 Û D = – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Do đó \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n \) = Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D.

c) Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right)\).

Mà do hai vectơ \[\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \] và \(\overrightarrow n \) cùng phương với nhau nên \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 0^\circ \) hoặc\(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 180^\circ \).

+) Nếu \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 0^\circ \) thì \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|\).

+) Nếu \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 180^\circ \) thì \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = - \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|\).

Do đó \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\].

d) Vì \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\] nên

\(d\left( {{M_0},\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).