Câu hỏi:

13/07/2024 14,046

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = 5a, SA = 3a và SA ^ (ABCD). Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như Hình 19, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = 5a, SA = 3a và SA  (ABCD). Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như Hình 19, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).   (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có A ≡ O(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), S(0; 0; 3a), C(2a; 5a; 0).

Suy ra \(\overrightarrow {SB} = \left( {2a;0; - 3a} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {2a;5a; - 3a} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3a}\\{5a}&{ - 3a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3a}&{2a}\\{ - 3a}&{2a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2a}&0\\{2a}&{5a}\end{array}} \right|} \right) = \left( {15{a^2};0;10{a^2}} \right)\).

Mặt phẳng (SBC) đi qua điểm S(0; 0; 3a) và nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{{5{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {3;0;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3x + 2(z – 3a) = 0 Û 3x + 2z – 6a = 0.

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6a} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6a}}{{\sqrt {13} }}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m, cách bạn nữ 5 m (Hình 16). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong (ảnh 2)

Giả sử quả bóng rơi tại vị trí A, B là vị trí bạn nam đứng.

Xét DOAB vuông tại B, có \(OB = \sqrt {O{A^2} - A{B^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4\).

Vì A Î (Oxy) nên A(3; 4; 0). Suy ra \(\overrightarrow {OA} = \left( {3;4;0} \right)\)

Mặt phẳng mặt đất Oxy có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&3\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {4; - 3;0} \right)\).

Khi đó mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {4; - 3;0} \right)\) có phương trình là 4x – 3y = 0.

Lời giải

a) Có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).

Mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

b) Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 2; 1) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3x + (y – 2) – 6(z – 1) = 0 Û 3x + y – 6z + 4 = 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP