Câu hỏi:

12/07/2024 4,125

Một người đang ở vị trí A muốn đi đến vị trí B trên bờ hồ như hình bên. Biết rằng người đó chèo thuyền với tốc độ 50 m/phút và chạy bộ với tốc độ 100 m/phút. Nếu người đó chèo thuyền thẳng từ A đến B thì tốn bao nhiêu thời gian? Có phương án nào tốn ít thời gian hơn không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Áp dụng định lý Pythagore, ta tính được AB = 500 m.

Do đó, nếu người đó chèo thuyền thẳng từ A đến B thì tốn phút.

Ta xem xét phương án sau:

Giả sử người đó chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn x (m), rồi chạy bộ thẳng đến B.

Ta cần tìm giá trị của x để người đó tốn ít thời gian nhất.

Ta có: (m); DB = 400 – x (m) với 0 ≤ x ≤ 400.

Thời gian người đó tiêu tốn là

(phút).

Xét hàm số với 0 ≤ x ≤ 400, ta có:

;

y' = 0 ⇔ ⇔ 4x2 = x2 + 90 000

⇔ x2 = 30 000 ⇔ x = ∈ [0; 400].

Ta có y(0) = 1 000; ; y(400) = 1 000.

Vậy .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của t là (phút), đạt được khi x = ≈ 173 (m).

Do đó, người đó tốn ít thời gian nhất khi x = ≈ 173 (m).

Nhận thấy 9,2 phút < 10 phút nên người đó chèo thuyền từ A thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn xấp xỉ bằng 173 m, rồi chạy bộ thẳng đến B là phương án tốn ít thời gian nhất.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng là 3km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các đoạn thẳng AI, BI và IC, với I là vị trí nằm giữa M và C (Hình 4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0 ⇔

⇔ 3x2 = 4 ⇒ x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Câu 2