Câu hỏi:

12/07/2024 11,092

Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng a (cm) không đổi (Hình 5). Gọi α là một góc của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên . Tìm α để diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi tên các điểm như hình vẽ dưới đây.

Kẻ các đường cao AF, BE của hình thang cân ABCD.

Ta chứng minh được ABEF là hình chữ nhật và DF = EC.

Khi đó ta có EF = AB = a (cm).

Đặt DF = EC = x (cm, 0 ≤ x < a).

Ta có DC = DF + FE + EC = x + a + x = 2x + a (cm).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được (cm).

Diện tích mặt cắt ngang của máng nước hay chính là diện tích hình thang cân ABCD là S = (AB + CD) ∙ AF : 2 = (a + 2x + a) ∙ : 2 = (a + x) (cm2).

Xét hàm số S(x) = (a + x) với x ∈ [0; a).

Ta có .

S'(x) = 0 ⇔ – 2x2 – ax + a2 = 0 ⇔ (2x – a)(x + a) = 0 ⇔ x = ∈ [0; a).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại x = .

Khi đó ta có, .

Suy ra .

Vậy thì diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng là 3km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các đoạn thẳng AI, BI và IC, với I là vị trí nằm giữa M và C (Hình 4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0 ⇔

⇔ 3x2 = 4 ⇒ x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Câu 2