Câu hỏi:

12/07/2024 11,916

Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng a (cm) không đổi (Hình 5). Gọi α là một góc của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên . Tìm α để diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Gọi tên các điểm như hình vẽ dưới đây.

Kẻ các đường cao AF, BE của hình thang cân ABCD.

Ta chứng minh được ABEF là hình chữ nhật và DF = EC.

Khi đó ta có EF = AB = a (cm).

Đặt DF = EC = x (cm, 0 ≤ x < a).

Ta có DC = DF + FE + EC = x + a + x = 2x + a (cm).

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được (cm).

 Diện tích mặt cắt ngang của máng nước hay chính là diện tích hình thang cân ABCD là S = (AB + CD) AF : 2 = (a + 2x + a)   : 2 = (a + x) (cm2).

Xét hàm số S(x) = (a + x) với x [0; a).

Ta có .

S'(x) = 0 – 2x2 – ax + a2 = 0  (2x – a)(x + a) = 0  x = [0; a).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại x = .

Khi đó ta có, .

Suy ra .

Vậy thì diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0   

3x2 = 4 x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Lời giải

Từ hình vẽ, ta tính được kích thước hình chữ nhật phần mặt nước là a – 3 (m) và b – 2 (m). Từ đó suy ra a > 3 và b > 2.

Diện tích phần mặt nước là S1 = (a – 3)(b – 2) = 54 (m2)

Suy ra (m).

Diện tích phần đường đi là S = ab – 54 = (m2).

Xét hàm số với a (3; + ).

Ta có ;

S'(a) = 0 .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được khi a = 12.

Với a = 12 thì ta có .

Vậy bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 12 m và 8 m thì diện tích phần đường đi là bé nhất.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP