Câu hỏi:

12/07/2024 6,768 Lưu

Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m2. Các kích thước x, y (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đường kính của nửa hình tròn là x (m, x > 0), suy ra bán kính nửa hình tròn là (m).

Diện tích phần mặt cắt hình chữ nhật là S1 = xy (m2). (x, y > 0)

Diện tích phần mặt cắt nửa hình tròn là S2 = (m2).

Theo bài ra ta có S1 + S2 = 2 hay , suy ra .

Vì x, y > 0 nên , từ đó suy ra .

Chu vi nửa hình tròn là C1 = πx (m).  

Chu vi mặt cắt ngang là

C = (m) với .

Xét hàm số f(x) = với .

Ta có ;

f'(x) = 0 .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại .

Với thì .

Vậy (m) và (m) thì chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này bằng (m).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0   

3x2 = 4 x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Lời giải

Gọi x, y (x > 0, y > 0, tính bằng mét) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể.

Thể tích của bể là V = 2xy = 1 800 (m3), suy ra (m).

Diện tích đáy bể là Sđ = xy (m2).

Diện tích thành bể là St = 2(x + y) 2 = 4(x + y) (m2).

Giả sử chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích thành bể là a (đồng, a > 0).

Khi đó chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích đáy bể là 2a (đồng).

Tổng chi phí để xây bể bơi là

C = 2axy + a 4(x + y) = (đồng).

Xét hàm số f(x) = 1800a + 4ax + với x (0; + ) và a > 0.

Ta có f'(x) = 4a – ;

f'(x) = 0  .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại x = 30.

Với x = 30 m thì ta có .

Vậy với chiều rộng và chiều dài của bể bằng nhau và bằng 30 m thì tiết kiệm được chi phí xây dựng bể nhất.