Câu hỏi:

12/07/2024 13,392

Người ta muốn xây một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật, thể tích 1 800 m3 và chiều sâu 2 m (Hình 7). Biết rằng chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể gấp hai lần so với thành bể. Cần chọn chiều dài và chiều rộng của bể bằng bao nhiêu để tiết kiệm chi phí xây dựng bể nhất?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi x, y (x > 0, y > 0, tính bằng mét) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể.

Thể tích của bể là V = 2xy = 1 800 (m3), suy ra (m).

Diện tích đáy bể là Sđ = xy (m2).

Diện tích thành bể là St = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (m2).

Giả sử chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích thành bể là a (đồng, a > 0).

Khi đó chi phí để xây mỗi đơn vị diện tích đáy bể là 2a (đồng).

Tổng chi phí để xây bể bơi là

C = 2axy + a ∙ 4(x + y) = (đồng).

Xét hàm số f(x) = 1800a + 4ax + với x ∈ (0; + ∞) và a > 0.

Ta có f'(x) = 4a – ;

f'(x) = 0 ⇔ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có , đạt được tại x = 30.

Với x = 30 m thì ta có .

Vậy với chiều rộng và chiều dài của bể bằng nhau và bằng 30 m thì tiết kiệm được chi phí xây dựng bể nhất.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng là 3km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các đoạn thẳng AI, BI và IC, với I là vị trí nằm giữa M và C (Hình 4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0 ⇔

⇔ 3x2 = 4 ⇒ x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Câu 2