Câu hỏi:

12/07/2024 3,947

Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A. Với mỗi sản phẩm A bán được, cửa hàng thu được 20 nghìn đồng lợi nhuận. Qua khảo sát, người ta thấy rằng với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A. Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm này? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải chuyên đề Toán 12 CTST Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi x (nghìn đồng, x ≥ 0) là số tiền giảm giá cho mỗi sản phẩm A.

Với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A nên với x nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10x sản phẩm A. Khi đó, mỗi tháng cửa hàng bán được số sản phẩm là 100 + 10x (sản phẩm).

Khi giảm giá x nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A thì lợi nhuận trên mỗi sản phẩm A bán ra được lúc này là 20 – x (nghìn đồng).

Rõ ràng 20 – x ≥ 0, do đó x phải thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 20.

Lợi nhuận từ việc bán sản phẩm A của cửa hàng trong một tháng sau khi giảm giá là

L(x) = (100 + 10x) ∙ (20 – x) = 2 000 + 100x – 10x2 (nghìn đồng).

Xét hàm số L(x) = 2 000 + 100x – 10x2 với x ∈ [0; 20].

Ta có L'(x) = 100 – 20x;

L'(x) = 0 ⇔ 100 – 20x = 0 ⇔ x = 5 ∈ [0; 20].

Ta có L(0) = 2 000; L(5) = 2 250; L(20) = 0.

Suy ra , đạt được tại x = 5.

Vậy cửa hàng nên giảm giá 5 nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm này là 2 triệu 250 nghìn đồng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng là 3km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các đoạn thẳng AI, BI và IC, với I là vị trí nằm giữa M và C (Hình 4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem đáp án

Lời giải

Đặt IM = x (km, 0 ≤ x ≤ 3).

Suy ra IC = 3 – x (km).

Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = 2 km.

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông AMI và BMI, ta có:

IA = IB = (km).

Tổng độ dài đường ống dẫn nước thải là

d = IA + IB + IC = (km).

Xét hàm số y = với 0 ≤ x ≤ 3, ta có:

y' = ;

y' = 0 ⇔

⇔ 3x2 = 4 ⇒ x = .

Ta có y(0) = 7; ; y(3) = .

Do đó, .

Suy ra giá trị nhỏ nhất của d khoảng 6,46 km, đạt được khi (km).

Vậy cần chọn vị trí điểm I đặt cách vị trí M (trung điểm của AB) một khoảng xấp xỉ bằng 1,15 km thì tổng độ dài đường ống dẫn nước thải nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất này xấp xỉ bằng 6,46 km.

Câu 2