Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ^ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.
a) Tính S(x) theo a, h và x.
b) Tính và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.
Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ^ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.
a) Tính S(x) theo a, h và x.
b) Tính và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có A'B'C'D' đồng dạng với ABCD theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{h}\).
Do đó \(\frac{{S\left( x \right)}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2} \Rightarrow S\left( x \right) = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2}.{a^2}\).
b) \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{x}{h}} \right)}^2}.{a^2}dx} \)\( = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h\)\( = \frac{1}{3}{a^2}h\).
Có \({V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3}.OA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.h.{a^2}\).
Vậy \({V_{O.ABCD}} = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° nên mặt cắt là tam giác vuông cân.
Do đó diện tích của mặt cắt là \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right) = 2 - \frac{1}{2}{x^2}\).
Thể tích vật thể là:
\(V = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {2 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - 2}^2\)\( = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}\).
Lời giải
Chon hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.
Giả sử (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
Vì (P) đi qua các điểm (0; 0), (6; 0), (3; 6) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\36a + 6b = 0\\9a + 3b = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.\).
Vậy (P): \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).
Bài toán trở thành tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 6.
Diện tích cần tính là:
\(S = \int\limits_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|} dx\)\( = \int\limits_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)} dx\)\( = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{9} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\) m2.
Vậy diện tích của cửa hầm là 24 m2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo