Câu hỏi:
13/07/2024 1,162
Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.
a) Tính S(3).
b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.
c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).
Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.
a) Tính S(3).
b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.
c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).
Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Tích phân có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)
Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.
Khi đó C(3; 4), D(1; 2).
Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.
Do đó \(S\left( 3 \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4} \right).2}}{2} = 6\).
b)
Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).
Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.
Do đó \(S\left( x \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}\), x ≥ 1.
c) Có \(S'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}} \right)^\prime } = \frac{{2x + 2}}{2} = x + 1 = f\left( x \right)\).
Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).
d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên
\(F\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C} \).
Do đó \(F\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 3 + C = \frac{{15}}{2} + C\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 + C = \frac{3}{2} + C\).
Suy ra \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{{15}}{2} + C - \left( {\frac{3}{2} + C} \right) = 6 = S\left( 3 \right)\).
Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:
Xe dừng khi v(t) = 20 – 5t = 0 Û t = 4.
Quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là:
(m).
Lời giải
Quãng đường chuyển động của thang máy là:
\(s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right)dt} \)\( = \int\limits_0^2 {tdt} + 2\int\limits_2^{20} {dt} + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0,5t} \right)dt} \)
\( = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 + \left. {\left( {2t} \right)} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{1}{4}{t^2}} \right)} \right|_{20}^{24}\)
\( = 2 + 40 - 4 + 144 - 140\) = 42 m.
Tốc độ trung bình của thang máy là:\({v_{tb}} = \frac{s}{{24}} = \frac{{42}}{{24}} = 1,75\)(m/s).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)