Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.

a) Tính S(3).

b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.

c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).

Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức: $v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}t,0\le t\le \mathrm{2,}\\ \mathrm{2,}2<t\le \mathrm{20,}\\ 12-\mathrm{0,5}t,20<t\le 24.\end{array}\right.$

Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x-1}{x^2}dx$;                b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1+2{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx$;            c) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}{\left(x-2\right)}^{2}dx+\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(4x-x^2\right)dx$.

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx$;               b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$;            c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$;                  d) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx$.

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{-2}{\overset{4}{\int }}\left(x+1\right)\left(x-1\right)dx$;                                  b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x^2-2x+1}{x}dx$;   

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(3\sin x-2\right)dx$;                                     d) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx$.

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T(°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và $T^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{30}{x}\left(6\le x\le 8\right)$.

(Nguồn: Y.A.Cengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, McGraw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (Hình 8).

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P'(x), gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩn bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức P'(x) = 16 – 0,02x với 0 ≤ x ≤ 100. Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.