Câu hỏi:

29/07/2024 153 Lưu

Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,6} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,4\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((\alpha ):x + 2y - 3z - 7 = 0\) sao cho \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất. Tọa độ của \(M\) bằng 
 

A. \[\left( {\frac{{29}}{{13}}\,;\,\,\frac{{58}}{{13}}\,;\,\,\frac{5}{{13}}} \right).\] 
B. \(\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\) 
C. \[\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,4} \right).\] 
D. \(\left( {\frac{{37}}{3}\,;\,\, - \frac{{56}}{3}\,;\,\,\frac{{68}}{3}} \right).\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow I\left( {3\,;\,\,1\,;\,\,4} \right).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) xuống mặt phẳng \((\alpha ).\)

Ta có \[\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) - I{A^2} = M{I^2} - I{A^2}\].

Do IA không đổi nên \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \[MI\] nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H.\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ).\)

Khi đó \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đó \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}} \right..\)

\(H \in \Delta \Leftrightarrow H\left( {3 + t\,;\,\,1 + 2t\,;\,\,4 - 3t} \right){\rm{. }}\)\(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow \left( {3 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {4 - 3t} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\)

Vậy \(M\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\) Chọn B.

 

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2 - a} \right)x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2}\left( {2 - a - \frac{3}{x}} \right) \cdot \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0\) nên để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2 - a} \right)x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = + \infty \) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {2 - a - \frac{3}{x}} \right)^ = } = 2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 2.{\rm{ }}\)

Khi đó \(P = {a^2} - 2a + 4 = {\left( {a - 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), vậy \({P_{\min }} = 3.\)

Đáp án: 3.

Câu 2

A. Giáng đòn nặng nề vào âm mưu nô dịch của chủ nghĩa đế quốc. 
B. Mở đầu cho quá trình sụp đổ của chủ nghĩa thực dân kiểu mới. 
C. Cổ vũ mạnh mē các dân tộc thuộc địa cùng đứng lên đấu tranh. 
D. Góp phần thu hẹp hệ thống thuộc địa của chủ nghĩa thực dân.

Lời giải

Thắng lợi của cuộc kháng chiến chống thực dân Pháp xâm lược (1945-1954) của quân dân Việt Nam không mở đầu cho quá trình sụp đổ của chủ nghĩa thực dân kiểu mới trên thế giới vì thực dân Pháp là thực dân kiểu cũ. Chọn B.

Câu 3

A. \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z - 4 = 0.\) 
B. \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 4 = 0.\) 
C. \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 5 = 0.\) 
D. \(\left( Q \right):3x + 2y + 4z + 8 = 0.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP