Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,6} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,4\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((\alpha ):x + 2y - 3z - 7 = 0\) sao cho \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất. Tọa độ của \(M\) bằng
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow I\left( {3\,;\,\,1\,;\,\,4} \right).\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) xuống mặt phẳng \((\alpha ).\)
Ta có \[\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) - I{A^2} = M{I^2} - I{A^2}\].
Do IA không đổi nên \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \[MI\] nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H.\)
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ).\)
Khi đó \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Do đó \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}} \right..\)
\(H \in \Delta \Leftrightarrow H\left( {3 + t\,;\,\,1 + 2t\,;\,\,4 - 3t} \right){\rm{. }}\)\(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow \left( {3 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {4 - 3t} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\)
Vậy \(M\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\) Chọn B.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2 - a} \right)x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2}\left( {2 - a - \frac{3}{x}} \right) \cdot \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0\) nên để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2 - a} \right)x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = + \infty \) thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {2 - a - \frac{3}{x}} \right)^ = } = 2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 2.{\rm{ }}\)
Khi đó \(P = {a^2} - 2a + 4 = {\left( {a - 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), vậy \({P_{\min }} = 3.\)
Đáp án: 3.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Thắng lợi của cuộc kháng chiến chống thực dân Pháp xâm lược (1945-1954) của quân dân Việt Nam không mở đầu cho quá trình sụp đổ của chủ nghĩa thực dân kiểu mới trên thế giới vì thực dân Pháp là thực dân kiểu cũ. Chọn B.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập