Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,6} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,4\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((\alpha ):x + 2y - 3z - 7 = 0\) sao cho \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất. Tọa độ của \(M\) bằng

A. \[\left( {\frac{{29}}{{13}}\,;\,\,\frac{{58}}{{13}}\,;\,\,\frac{5}{{13}}} \right).\]

B. \(\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\)

C. \[\left( {1\,;\,\,3\,;\,\,4} \right).\]

D. \(\left( {\frac{{37}}{3}\,;\,\, - \frac{{56}}{3}\,;\,\,\frac{{68}}{3}} \right).\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 21) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow I\left( {3\,;\,\,1\,;\,\,4} \right).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) xuống mặt phẳng \((\alpha ).\)

Ta có \[\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) - I{A^2} = M{I^2} - I{A^2}\].

Do IA không đổi nên \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \[MI\] nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H.\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ).\)

Khi đó \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_{(\alpha )}}} = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Do đó \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}} \right..\)

\(H \in \Delta \Leftrightarrow H\left( {3 + t\,;\,\,1 + 2t\,;\,\,4 - 3t} \right){\rm{. }}\)\(H \in (\alpha ) \Leftrightarrow \left( {3 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {4 - 3t} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\)

Vậy \(M\left( {4\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\) Chọn B.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết rằng \(\frac{{\left( {2 - a} \right)x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}\) có giới hạn là \( + \infty \) khi \(x \to + \infty \) (với \(a\) là tham số). Tính giá trị nhỏ nhất của \(P = {a^2} - 2a + 4.\)

Đáp án: ……….

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2 - a} \right)x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {2 - a} \right)x - 3} \right] \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2}\left( {2 - a - \frac{3}{x}} \right) \cdot \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0\) nên để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2 - a} \right)x - 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} = + \infty \) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {2 - a - \frac{3}{x}} \right)^ = } = 2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 2.{\rm{ }}\)

Khi đó \(P = {a^2} - 2a + 4 = {\left( {a - 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), vậy \({P_{\min }} = 3.\)

Đáp án: 3.

Câu 2

Nội dung nào sau đây không phải là ý nghĩa quốc tế của cuộc kháng chiến chống thực dân Pháp xâm lược (1945-1954) của quân dân Việt Nam?

A. Giáng đòn nặng nề vào âm mưu nô dịch của chủ nghĩa đế quốc.

B. Mở đầu cho quá trình sụp đổ của chủ nghĩa thực dân kiểu mới.

C. Cổ vũ mạnh mē các dân tộc thuộc địa cùng đứng lên đấu tranh.

D. Góp phần thu hẹp hệ thống thuộc địa của chủ nghĩa thực dân.

Lời giải

Thắng lợi của cuộc kháng chiến chống thực dân Pháp xâm lược (1945-1954) của quân dân Việt Nam không mở đầu cho quá trình sụp đổ của chủ nghĩa thực dân kiểu mới trên thế giới vì thực dân Pháp là thực dân kiểu cũ. Chọn B.

Câu 3

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 4z - 5 = 0.\) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là

A. \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z - 4 = 0.\)

B. \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 4 = 0.\)

C. \(\left( Q \right):3x - 2y + 4z + 5 = 0.\)

D. \(\left( Q \right):3x + 2y + 4z + 8 = 0.\)

Lời giải