Một học sinh thực hiện một loạt các phản ứng để nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến tốc độ của phản ứng. Trong mỗi thử nghiệm, học sinh này kết hợp \(50,0\;{\rm{mL}}\,{\rm{HCl}}({\rm{aq}})\) ở \(21,{2^o }{\rm{C}}\) với 1,00g \({\rm{CaC}}{{\rm{O}}_3}\,(s)\) và đo thời gian cần thiết để phản ứng kết thúc. Các dữ liệu được đưa ra trong bảng sau:

Thử nghiệm	Nồng độ của HCl(aq) M	Kích thước hạt \(CaC{O_3}(s)\)	Thời gian phản ứng kết thúc (giây)
1	1,00	Bột mịn	67
2	1,00	Các viên nhỏ	112
3	1,00	Các viên lớn	342
4	3,00	Bột mịn	22
5	3,00	Các viên nhỏ	227
6	3,00	Các viên lớn	114

Trong số các thử nghiệm trên, bạn học sinh đã nhận ra rằng có một thử nghiệm đã cho kết quả không chính xác. Thử nghiệm đó là

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow d \bot \left( P \right)\) và \(d \cap (P) = M\left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = (2; - 1;2) \Rightarrow MA = 3\)

Gọi chiều cao máng nước là: \(h = 10 \cdot \cos \theta \,\,({\rm{cm}})\).

Chiều dài đáy trên máng nước là:

\(10 + 2 \cdot \sqrt {{{10}^2} - {h^2}}  = 10 + 2 \cdot \sqrt {{{10}^2} - {{\left( {10 \cdot \cos \theta } \right)}^2}}  = 10 + 20 \cdot \sin \theta \,\,({\rm{cm}})\).

Máng nước chứa được nhiều nước nhất khi diện tích hình vẽ lớn nhất

\( \Leftrightarrow S = \frac{{10 + 20 \cdot \sin \theta  + 10}}{2} \cdot 10 \cdot \cos \theta  = 100 \cdot (1 + \sin \theta ) \cdot \cos \theta  = 100 \cdot \left( {\cos \theta  + \frac{{\sin 2\theta }}{2}} \right)\).

Ta có \(S' = 100\left( { - \sin \theta  + \cos 2\theta } \right) = 100\left( { - \sin \theta  + 1 - 2{{\sin }^2}\theta } \right)\)

Khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \theta  =  - 1}\\{\sin \theta  = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên: