Câu hỏi:
25/08/2024 166
Cho hình vuông ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AO (Hình 25). Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’.
a) Chứng minh tam giác BN'M' là tam giác vuông cân.
b) Tính tỉ số diện tích tam giác ANM và diện tích tam giác CN'M'.
c) Phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là đúng hay sai? Vì sao?
Cho hình vuông ABCD và O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AO (Hình 25). Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’.
a) Chứng minh tam giác BN'M' là tam giác vuông cân.
b) Tính tỉ số diện tích tam giác ANM và diện tích tam giác CN'M'.
c) Phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là đúng hay sai? Vì sao?
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương IX có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Do phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm N, M lần lượt thành các điểm N’, M’ nên ON = ON’, OM = OM’ và \(\widehat {NON'} = \widehat {MOM'} = 90^\circ .\)
Do đó các tam giác ONN’ và OMM’ là các tam giác vuông cân tại O.
Do ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB = OC = OD.
Ta có OA = 2ON nên OB = OA = 2ON = 2ON’, do đó N’ là trung điểm của OB.
Suy ra
Xét ∆OAB vuông tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên \(OM = \frac{1}{2}AB,\) mà AB = BC và OM = OM’ nên \(OM' = \frac{1}{2}BC.\)
Xét ∆OBC vuông tại O có \(OM' = \frac{1}{2}BC\) nên OM’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền hay M’ là trung điểm của BC.
Suy ra
Xét ∆ANM và ∆BN’M’ có:
AN = BN’, \[\widehat {MAN} = \widehat {M'BN'} = 45^\circ ,\] AM = BM’
Do đó ∆ANM = ∆BN’M’ (c.g.c).
Suy ra MN = M’N’ (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {ANM} = \widehat {BN'M'}\) (hai góc tương ứng).
Xét ∆OAB có N, M lần lượt là trung điểm của AO, AB nên NM là đường trung bình của tam giác, do đó NM // OB và \(NM = \frac{1}{2}OB.\)
Ta có MN = M’N’ và \(BN' = \frac{1}{2}OB = NM\) nên BN’ = M’N’.
Lại có NM // OB và OB ⊥ AO nên NM ⊥ AO hay \(\widehat {ANM} = 90^\circ ,\) suy ra \(\widehat {BN'M'} = 90^\circ .\)
Tam giác BN’M’ có BN’ = M’N’ và \(\widehat {BN'M'} = 90^\circ \) nên là tam giác vuông cân tại N’.
b) Kí hiệu diện tích các tam giác ANM, AOB, CN’M’, CN’B, COB lần lượt là SANM, SAOB, SCN’M’, SCN’B, SCOB. Gọi hN’ là chiều cao kẻ từ N’ đến BC.
Ta có: \({S_{ANM}} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AO \cdot \frac{1}{2}OB = \frac{1}{4} \cdot \left( {\frac{1}{2}OA \cdot OB} \right) = \frac{1}{4}{S_{AOB}};\)
\({S_{CN'M'}} = \frac{1}{2} \cdot {h_{N'}} \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot {h_{N'}} \cdot \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot {h_{N'}} \cdot BC} \right) = \frac{1}{2}{S_{CN'B}};\)
\({S_{CN'B}} = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot N'B = \frac{1}{2} \cdot CO \cdot \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \cdot CO \cdot OB} \right) = \frac{1}{2}{S_{COB}}.\)
Suy ra: \({S_{CN'M'}} = \frac{1}{2}{S_{CN'B}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}{S_{COB}} = \frac{1}{4}{S_{COB}}.\)
Mặt khác, \({S_{AOB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OB = {S_{COB}}.\)
Do đó: SANM = SCN’M’.
Vậy SANM : SCN’M’ = 1.
c) Ta có AC ⊥ BD tại trung điểm O của BD nên AO là đường trung trực của BC.
Mà N ∈ AC nên ND = NB.
Do đó tam giác NDB cân ở N và dễ thấy rằng \(\widehat {DNB} > 90^\circ .\)
Suy ra phép quay thuận chiều 90° tâm N không thể biến điểm D thành điểm B.
Vậy phát biểu “Phép quay thuận chiều 90° tâm N biến điểm O thành điểm M, biến điểm D thành điểm B” là sai.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác đều ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh lục giác DKFIEM là lục giác đều.
Cho tam giác đều ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh lục giác DKFIEM là lục giác đều.
Xem đáp án »
25/08/2024
250
Câu 2:
Tổng số đo tất cả các góc của ngũ giác ABCDE là:
A. 560°.
B. 540°.
C. 520°.
D. 500°.
Tổng số đo tất cả các góc của ngũ giác ABCDE là:
A. 560°.
B. 540°.
C. 520°.
D. 500°.
Xem đáp án »
25/08/2024
126
Câu 3:
Cho lục giác đều ABCDEF với tâm O thoả mãn phép quay thuận chiều 60° tâm O biến các điểm A, B, C, D, E, F lần lượt thành các điểm B, C, D, E, F, A. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của EF, BD.
a) Tìm α (0 < α < 180), biết phép quay ngược chiều α° tâm O biến các điểm D, C lần lượt thành các điểm B, A.
b) Chứng minh phép quay thuận chiều 60° tâm A biến các điểm O, N lần lượt thành các điểm F, M.
Cho lục giác đều ABCDEF với tâm O thoả mãn phép quay thuận chiều 60° tâm O biến các điểm A, B, C, D, E, F lần lượt thành các điểm B, C, D, E, F, A. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của EF, BD.
a) Tìm α (0 < α < 180), biết phép quay ngược chiều α° tâm O biến các điểm D, C lần lượt thành các điểm B, A.
b) Chứng minh phép quay thuận chiều 60° tâm A biến các điểm O, N lần lượt thành các điểm F, M.
Xem đáp án »
25/08/2024
105
Câu 4:
Cho ngũ giác đều ABCDE. Về phía ngoài của ngũ giác đó dựng tam giác đều PDE (Hình 24). Tính số đo góc APC.
Cho ngũ giác đều ABCDE. Về phía ngoài của ngũ giác đó dựng tam giác đều PDE (Hình 24). Tính số đo góc APC.
Xem đáp án »
25/08/2024
85
Câu 5:
Cho lục giác đều ABCDEF. Về phía ngoài lục giác dựng các hình vuông BAA1A2, CBA3A4, DCA5A6, EDA7A8, FEA9A10, AFA11A12. Đa giác A1A2A3…A11A12 có phải là đa giác đều không? Vì sao?
Cho lục giác đều ABCDEF. Về phía ngoài lục giác dựng các hình vuông BAA1A2, CBA3A4, DCA5A6, EDA7A8, FEA9A10, AFA11A12. Đa giác A1A2A3…A11A12 có phải là đa giác đều không? Vì sao?
Xem đáp án »
25/08/2024
84
Câu 6:
Quan sát các đa giác ở Hình 23 và cho biết hình nào là đa giác đều.
Quan sát các đa giác ở Hình 23 và cho biết hình nào là đa giác đều.
Xem đáp án »
25/08/2024
66
về câu hỏi!