Câu hỏi:
28/08/2024 4,647
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F.
a) Chứng minh EH // BC.
b) Tính số đo của \(\widehat {AMB}.\)
c) Chứng minh \(\widehat {AEK} = \widehat {AFK}.\)
d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F.
a) Chứng minh EH // BC.
b) Tính số đo của \(\widehat {AMB}.\)
c) Chứng minh \(\widehat {AEK} = \widehat {AFK}.\)
d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Quảng cáo
Trả lời:

a) Ta có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB), suy ra BC ⊥ AC.
Mà EH ⊥ AC (giả thiết), suy ra EH // BC.
b) Vì C là điểm chính giữa của cung AB và AB là đường kính của đường tròn (O), suy ra
Vì AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (giả thiết) nên \(\widehat {CAD} = \widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {CAB},\) suy ra
Xét đường tròn (O) có:
⦁ \(\widehat {CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB nên
⦁ \(\widehat {CBA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA nên
⦁ \(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD nên
Suy ra \(\widehat {MAB} = 45^\circ ;\) \(\widehat {MBA} = \widehat {MBC} + \widehat {CBA} = 22,5^\circ + 45^\circ = 67,5^\circ .\)
Xét ∆MAB có: \[\widehat {AMB} + \widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 180^\circ \]
Suy ra \[\widehat {AMB} = 180^\circ - \widehat {MAB} - \widehat {MBA} = 180^\circ - 45^\circ - 67,5^\circ = 67,5^\circ .\]
c) Vì EH // BC nên \(\widehat {AEK} = \widehat {ABC}\) (hai góc đồng vị).
Mà \(\widehat {AFK} = \widehat {AFC} = \widehat {ABC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).
Suy ra \(\widehat {AEK} = \widehat {AFK}.\)
d) Tam giác AIC có AK là tia phân giác của \(\widehat {CAI},\) suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{KI}}{{KC}}.\)
Tam giác CIB có EK // CB, suy ra \(\frac{{IE}}{{BE}} = \frac{{KI}}{{KC}}\) (định lí Thalès)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{IE}}{{BE}}.\)
Mà AC = BE (giả thiết) nên AI = IE.
Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

a) Ta có BD ⊥ AC, CE ⊥ AB nên tam giác BEC vuông tại E và tam giác BDC vuông tại D.
∆BEC vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (1)
∆BDC vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Ta có BD là bán kính đường tròn (B; BD) và BD ⊥ AC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).
c) Xét ∆BHD và ∆BDC có:
Góc B chung; \[\widehat {BHD} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]
Do đó ∆BHD ᔕ ∆BDC (g.g)
Suy ra \[\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BD}}\] hay BD2 = BH.BC.
Ta lại có BD = BK (bán kính đường tròn (B; BD)) nên BK2 = BH.BC.
Suy ra \[\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{BC}}\]
Xét ∆BHK và ∆BKC có:
Góc B chung; \[\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{BC}}\]
Do đó ∆BHK ᔕ ∆BKC (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {BKH} = \widehat {BCK}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {BMH} = \widehat {BCK}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC})\) nên \(\widehat {BMH} = \widehat {BKH}.\)
Lời giải

a) Ta có: \(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ .\)
Xét đường tròn (O) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}.\)
Xét ∆AHB và ∆ACD có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = 90^\circ ;\) \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\)
Do đó ∆AHB ᔕ ∆ACD (g.g).
b) Vì ∆AHB ᔕ ∆ACD (câu a) nên \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}}\)
Hay AH.AD = AB.AC, suy ra \(AD = \frac{{AB \cdot AC}}{{AH}} = \frac{{8 \cdot 15}}{5} = 24\) (cm).
Do đó độ dài bán kính của đường tròn (O) là \(\frac{{AD}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\) cm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.