Câu hỏi:

28/08/2024 4,646

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F.

a) Chứng minh EH // BC.

b) Tính số đo của \(\widehat {AMB}.\)

c) Chứng minh \(\widehat {AEK} = \widehat {AFK}.\)

d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H (ảnh 1)

a) Ta có \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB), suy ra BC AC.

Mà EH AC (giả thiết), suy ra EH // BC.

b) Vì C là điểm chính giữa của cung AB và AB là đường kính của đường tròn (O), suy ra  

Vì AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (giả thiết) nên \(\widehat {CAD} = \widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {CAB},\) suy ra

Xét đường tròn (O) có:

\(\widehat {CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB nên

\(\widehat {CBA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA nên

\(\widehat {CBD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD nên

Suy ra \(\widehat {MAB} = 45^\circ ;\) \(\widehat {MBA} = \widehat {MBC} + \widehat {CBA} = 22,5^\circ + 45^\circ = 67,5^\circ .\)

Xét ∆MAB có: \[\widehat {AMB} + \widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {AMB} = 180^\circ - \widehat {MAB} - \widehat {MBA} = 180^\circ - 45^\circ - 67,5^\circ = 67,5^\circ .\]

c) Vì EH // BC nên \(\widehat {AEK} = \widehat {ABC}\) (hai góc đồng vị).

\(\widehat {AFK} = \widehat {AFC} = \widehat {ABC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn (O)).

Suy ra \(\widehat {AEK} = \widehat {AFK}.\)

d) Tam giác AIC có AK là tia phân giác của \(\widehat {CAI},\) suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{KI}}{{KC}}.\)

Tam giác CIB có EK // CB, suy ra \(\frac{{IE}}{{BE}} = \frac{{KI}}{{KC}}\) (định lí Thalès)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{IE}}{{BE}}.\)

Mà AC = BE (giả thiết) nên  AI = IE.

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AE.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE.  a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)

a) Ta có BD AC, CE AB nên tam giác BEC vuông tại E và tam giác BDC vuông tại D.

∆BEC vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (1)

∆BDC vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Ta có BD là bán kính đường tròn (B; BD) và BD AC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).

c) Xét ∆BHD ∆BDC có:

Góc B chung; \[\widehat {BHD} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]

Do đó ∆BHD ∆BDC (g.g)

Suy ra \[\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BD}}\]  hay BD2 = BH.BC.

Ta lại có BD = BK (bán kính đường tròn (B; BD)) nên BK2 = BH.BC.

Suy ra \[\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{BC}}\]

Xét ∆BHK và ∆BKC có:

Góc B chung; \[\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{BC}}\]

Do đó ∆BHK ∆BKC (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BKH} = \widehat {BCK}\) (hai góc tương ứng).

\(\widehat {BMH} = \widehat {BCK}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC})\) nên \(\widehat {BMH} = \widehat {BKH}.\)

Lời giải

Cho tam giác ABC có (O) là đường tròn ngoại tiếp. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn (O). Biết AB = 8 cm; AC = 15 cm và AH = 5 cm. (ảnh 1)

a) Ta có: \(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ .\)

Xét đường tròn (O) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) hay \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}.\)

Xét ∆AHB và ∆ACD có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = 90^\circ ;\) \(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\)  

Do đó ∆AHB ∆ACD (g.g).

b) Vì ∆AHB ∆ACD (câu a) nên \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}}\)

Hay AH.AD = AB.AC, suy ra \(AD = \frac{{AB \cdot AC}}{{AH}} = \frac{{8 \cdot 15}}{5} = 24\) (cm).

Do đó độ dài bán kính của đường tròn (O) là \(\frac{{AD}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12\) cm.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP