Một công viên hình tam giác được bao quanh bởi ba con đường ML, LN, NM với kích thước (tính theo mét) được ghi trên bản vẽ trong Hình 7. Người ta muốn dựng một trụ đèn tại một điểm cách đều ba con đường. Xác định vị trí điểm cần tìm và tính khoảng cách từ điểm đó đến ba con đường.

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE.

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Vẽ đường tròn (B; BD). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).

c) Đường tròn (B; BD) cắt CE tại K(K nằm giữa E và C). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H và cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh \(\widehat {BMH} = \widehat {BKH}.\)

Cho tam giác ABC có (O) là đường tròn ngoại tiếp. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn (O). Biết AB = 8 cm; AC = 15 cm và AH = 5 cm.

a) Chứng minh ∆AHB ᔕ ∆ACD.

b) Tính độ dài bán kính của đường tròn.

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc \(\widehat {BAC}\) cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F.

a) Chứng minh EH // BC.

b) Tính số đo của \(\widehat {AMB}.\)

c) Chứng minh \(\widehat {AEK} = \widehat {AFK}.\)

d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.

Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó có góc quay là

A. 45°.

B. 90°.

C. 135°.

D. 210°.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r); D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của cạnh AB, BC, AC với đường tròn (I; r) (Hình 4).

a) Ba đường trung trực của tam giác ABC cắt nhau tại I.

b) AD = AF

c) BD + CF = BC.

d) IE = r.

Cho tam giác vuông ABC có độ dài hai cạnh góc vuông là 5 cm, 12 cm. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có độ dài là

A. 13 cm.

B. 10 cm.

C. 5 cm.

D. 6,5 cm.