Cho ba điểm A(2; −1; 3), B(4; 0; 1) và C(−10; 5; 30). Đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC cắt BC tại D. Tính BD.

Cho tam giác ABC có A(0; 0; 1), B(−1; −2; 0), C(2; 1; −1). Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC.

Cho ba điểm A(1; 1;1 ), B(−1; 1; 0) và C(3; 1; −1). Gọi M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A, B, C. Tính tổng a + b + c.

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 \), \(\left| {\overrightarrow b } \right|\) = 3 và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) = 30°. Tính độ dài của vectơ \(3\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b \).

Trong không gian Oxyz được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc \(\overrightarrow u \) = (90; −80; −120), \(\overrightarrow v \) = (60; −50; −60).

Tính góc giữa hai vectơ  vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2.

a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {C'D'} \).

b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {D'C'} \).

c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).

d) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD'} = 8\).

Cho ba vectơ \(\overrightarrow a \) = (1; 0; −2), \(\overrightarrow b \) = (−2; 1; 3) và \(\overrightarrow c \) = (−4; 3; 5). Tìm hai số thực m, n sao cho \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow c \).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) = (2; −1; 2), \(\overrightarrow v \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow v } \right|\) = 1 và \(\left| {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right|\) = 4. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v \).