Biết đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,2} \right).\) Tính tổng bình phương của \(a\) và \(b.\)

Đáp án đúng là: C

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),  ta có:

⦁ \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a}\];

⦁ \(AC = BC \cdot \cos C\) hay \(b = a \cdot \cos C\);

⦁ \(AB = AC \cdot \tan C\) hay \(c = b \cdot \tan C\);

⦁ \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\) suy ra \(b = \frac{c}{{\cot B}}\).

⦁ \(\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \) suy ra \(\sin C = \cos B = \frac{3}{5}\), từ đó ta tìm được \(\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'\).

2. Đặt: \(BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);\) \(AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(C,\) ta có: \[CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .\]

Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(C,\) ta có: \(CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \).

Do đó, ta có: \(\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ  + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \)

\(\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ  - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ  = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ  - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ \)

\(\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ  - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158,5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \(CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ  \approx 3\,\,158,5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ  \approx 2468\,\,({\rm{m}}).\)

Vậy ngọn núi cao khoảng \(2\,\,468\) mét.