Câu hỏi:

03/10/2024 4,370

Cho tam giác $ABC$ có đường cao$AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,\,\,AC.$ Chứng minh rằng $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác $ABC$ có đường cao$AH.$ Gọi $D$ và $E$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,\,\,AC.$ Chứng minh rằng $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C$. (ảnh 1)$

⦁ Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có: $\cos \widehat {DAH} = \frac{{AD}}{{AH}}.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}.$

Suy ra $\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $A{H^2} = AD \cdot AB$.

Chứng minh tương tự ta cũng có: $A{H^2} = AE \cdot AC$.

Do đó $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ hay $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACB$ có: $\widehat {BAC}$ là góc chung và $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}$

Do đó (c.g.c), suy ra $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}}$ và $\widehat {B\,} = \widehat {E\,}$.

⦁ Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có $AH = AB \cdot \sin B$.

Suy ra ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có: ${S_{\Delta ADE}} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E$

Khi đó, $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E}}{{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B}} = \frac{{DE}}{{CB}} \cdot \frac{{AE}}{{AB}} \cdot \frac{{\sin E}}{{\sin E}}$ (do $\widehat {B\,} = \widehat {E\,})$

Suy ra $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AB}}} \right)^2}$ (do $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}})$

Do đó $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2}$

Xét $\Delta AHE$ vuông tại $E$ ta có: $\frac{{AE}}{{AH}} = \cos \widehat {HAC} = \sin C$ (do $\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ )$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\frac{{AH}}{{AB}} = \sin B$

Từ đó, ta có $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\sin C \cdot \sin B} \right)^2} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.$

Vậy $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

1. Giải các phương trình sau:

a) $9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0.$ b) $\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0$.

2. Giải các bất phương trình sau:

a) $8x + 2 < 7x - 1$. b) $\frac{{15 - 6x}}{3} > 5$. c) \[\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) < \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 2{x^2} + 4\].

Xem đáp án

Lời giải

1. a) $9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0$

$9{x^2} = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$

${x^2} = 0$ hoặc $2x = 3$

$x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là $x = 0;$ $x = \frac{3}{2}$.

1. b) Điều kiện xác định: $x \ne 0,\,\,x \ne 2,\,\,x \ne - 2.$

$\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$\frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$2x - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x - 4x + 8} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 8} \right) = 0$

$2x - {x^2} - x + 2 + {x^2} - 6x + 8 = 0$

$ - 5x + 10 = 0$

$ - 5x = - 10$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) $8x + 2 < 7x - 1$

$8x - 7x < - 1 - 2$

$x < - 3$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < - 3$.

b) $\frac{{15 - 6x}}{3} > 5$

$\frac{{15 - 6x}}{3} \cdot 3 > 5 \cdot 3$

$15 - 6x > 15$

$ - 6x > 0$

$x < 0$.

2. c) \[\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) < \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 2{x^2} + 4\]

\[{x^3} + 8 < {x^3} + 2{x^2} + x + 2 - 2{x^2} + 4\]

\[{x^3} - {x^3} + 2{x^2} - 2{x^2} - x < 2 + 4 - 8\]

\[ - x < - 2\]

$x > 2$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > 2$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < 0$.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có \[BC = a,\] \[AC = b,\,\,AB = c.\] Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \[\sin B = \frac{c}{a}\]. B. \[c = \frac{b}{{\cot B}}\]. C. \[c = b \cdot \tan C\]. D. \[b = c \cdot \cos C\].

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

$Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có \[BC = a,\] \[AC = b,\,\,AB = c.\] Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \[\sin B = \frac{c}{a}\]. B. \[c = \frac{b}{{\cot B}}\]. C. \[c = b \cdot \tan C\]. D. \[b = c \cdot \cos C\]. (ảnh 1)$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

⦁ \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a}\];

⦁ $AC = BC \cdot \cos C$ hay $b = a \cdot \cos C$;

⦁ $AB = AC \cdot \tan C$ hay $c = b \cdot \tan C$;

⦁ $\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}$ suy ra $b = \frac{c}{{\cot B}}$.

Vậy phương án C là khẳng định đúng

Câu 3

1. Cho tam giác \[ABC\] vuông tại $A$ có $AB = 6\,\,{\rm{cm}}$ và $\cos B = \frac{3}{5}.$ Tính độ dài các cạnh $BC,\,\,AC$ và số đo góc $C$ (làm tròn kết quả số đo góc đến phút).

2. Tính chiều cao của một ngọn núi (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị), biết tại hai điểm $A,\,\,B$ cách nhau \[500{\rm{\;m,}}\] người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là $34^\circ $ và $38^\circ $ (hình vẽ).

$Cho tam giác \[ABC\] vuông tại $A$ có $AB = 6\,\,{\rm{cm}}$ và $\cos B = \frac{3}{5}.$ Tính độ dài các cạnh $BC,\,\,AC$ và số đo góc $C$ (làm tròn kết quả số đo góc đến phút). (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Biết đường thẳng $y = ax + b$ đi qua hai điểm $M\left( {3;\,\, - 5} \right)$ và $N\left( {1;\,\,2} \right).$ Tính tổng bình phương của $a$ và $b.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ và $\widehat B = \alpha .$ Tỉ số $\frac{{HA}}{{HC}}$ bằng

A. $\sin \alpha $.

B. \[\cos \alpha \].

C. $\tan \alpha $.

D. $\cot \alpha $.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 5{\rm{\;cm}},\,\,BC = 7{\rm{\;cm}}.$ Số đo góc $C$ được làm tròn đến phút là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh