Câu hỏi:

03/10/2024 2,918 Lưu

Cho tam giác \(ABC\) có đường cao\(AH.\) Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB,\,\,AC.\) Chứng minh rằng \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Cho tam giác \(ABC\) có đường cao\(AH.\) Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB,\,\,AC.\) Chứng minh rằng \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C\). (ảnh 1)

⦁ Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) ta có: \(\cos \widehat {DAH} = \frac{{AD}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}.\)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(A{H^2} = AD \cdot AB\).

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(A{H^2} = AE \cdot AC\).

Do đó \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\) hay \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {BAC}\) là góc chung và \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\)

Do đó  (c.g.c), suy ra \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}}\) và \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,}\).

⦁ Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có \(AH = AB \cdot \sin B\).

Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B\).

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \({S_{\Delta ADE}} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E\)

Khi đó, \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E}}{{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B}} = \frac{{DE}}{{CB}} \cdot \frac{{AE}}{{AB}} \cdot \frac{{\sin E}}{{\sin E}}\) (do \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,})\)

Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AB}}} \right)^2}\) (do \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}})\)

Do đó \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2}\)

Xét \(\Delta AHE\) vuông tại \(E\) ta có: \(\frac{{AE}}{{AH}} = \cos \widehat {HAC} = \sin C\) (do \(\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ )\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(\frac{{AH}}{{AB}} = \sin B\)

Từ đó, ta có \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\sin C \cdot \sin B} \right)^2} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.\)

Vậy \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[BC = a,\] \[AC = b,\,\,AB = c.\] Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \[\sin B = \frac{c}{a}\].	B. \[c = \frac{b}{{\cot B}}\].	C. \[c = b \cdot \tan C\].	D. \[b = c \cdot \cos C\]. (ảnh 1)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\),  ta có:

⦁ \[\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a}\];

⦁ \(AC = BC \cdot \cos C\) hay \(b = a \cdot \cos C\);

⦁ \(AB = AC \cdot \tan C\) hay \(c = b \cdot \tan C\);

⦁ \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\) suy ra \(b = \frac{c}{{\cot B}}\).

Vậy phương án C là khẳng định đúng

Lời giải

1. a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0\)

\(9{x^2} = 0\) hoặc \(2x - 3 = 0\)

\({x^2} = 0\) hoặc \(2x = 3\)

\(x = 0\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = 0;\) \(x = \frac{3}{2}\).

 

1. b) Điều kiện xác định: \(x \ne 0,\,\,x \ne 2,\,\,x \ne - 2.\)

\(\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0\)

\(\frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 0\)

\(2x - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(2x - \left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x - 4x + 8} \right) = 0\)

\(2x - \left( {{x^2} + x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 8} \right) = 0\)

\(2x - {x^2} - x + 2 + {x^2} - 6x + 8 = 0\)

\( - 5x + 10 = 0\)

\( - 5x = - 10\)

    \(x = 2\) (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) \(8x + 2 < 7x - 1\)

\(8x - 7x < - 1 - 2\)

\(x < - 3\).

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < - 3\).

b) \(\frac{{15 - 6x}}{3} > 5\)

\(\frac{{15 - 6x}}{3} \cdot 3 > 5 \cdot 3\)

\(15 - 6x > 15\)

\( - 6x > 0\)

  \(x < 0\).

2. c) \[\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) < \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - 2{x^2} + 4\]

\[{x^3} + 8 < {x^3} + 2{x^2} + x + 2 - 2{x^2} + 4\]

\[{x^3} - {x^3} + 2{x^2} - 2{x^2} - x < 2 + 4 - 8\]

\[ - x < - 2\]

\(x > 2\).

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x > 2\).

 

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < 0\).

Câu 4

Biết đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) và \(N\left( {1;\,\,2} \right).\) Tính tổng bình phương của \(a\) và \(b.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \(\sin \alpha \). 
B. \[\cos \alpha \]. 
C. \(\tan \alpha \). 
D. \(\cot \alpha \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP