Cho tam giác \(ABC\) có đường cao\(AH.\) Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB,\,\,AC.\) Chứng minh rằng \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C\).

⦁ Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) ta có: \(\cos \widehat {DAH} = \frac{{AD}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}.\)

Suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(A{H^2} = AD \cdot AB\).

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(A{H^2} = AE \cdot AC\).

Do đó \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\) hay \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {BAC}\) là góc chung và \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\)

Do đó  (c.g.c), suy ra \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}}\) và \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,}\).

⦁ Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có \(AH = AB \cdot \sin B\).

Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B\).

Chứng minh tương tự, ta cũng có: \({S_{\Delta ADE}} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E\)

Khi đó, \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E}}{{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B}} = \frac{{DE}}{{CB}} \cdot \frac{{AE}}{{AB}} \cdot \frac{{\sin E}}{{\sin E}}\) (do \(\widehat {B\,} = \widehat {E\,})\)

Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AB}}} \right)^2}\) (do \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}})\)

Do đó \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2}\)

Xét \(\Delta AHE\) vuông tại \(E\) ta có: \(\frac{{AE}}{{AH}} = \cos \widehat {HAC} = \sin C\) (do \(\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ )\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có: \(\frac{{AH}}{{AB}} = \sin B\)

Từ đó, ta có \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\sin C \cdot \sin B} \right)^2} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.\)

Vậy \(\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.\)