Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 2; - 4} \right)\) và \(B\left( {2;0;5} \right)\).

a) \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  - 4\overrightarrow k \).

b) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\left( {1; - 2; - 9} \right)\).

c) Điểm \(B\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

d) Cho vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;3; - 7} \right)\), khi đó điểm \(C\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow u \) có tọa độ là \(\left( {4;1; - 11} \right)\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \left( {3; - 2; - 4} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow i  + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j  + \left( { - 4} \right)\overrightarrow k  = 3\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  - 4\overrightarrow k \).

Do đó, ý a) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 3;0 - \left( { - 2} \right);5 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 1;2;9} \right)\). Do đó, ý b) sai.

– Điểm \(B\left( {2;0;5} \right)\) có hoành độ \(x = 2 \ne 0\), tung độ \(y = 0\) và cao độ \(z = 5 \ne 0\) nên điểm \(B\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Gọi tọa độ điểm \(C\) là \(\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\), ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {{x_C} - 3;{y_C} + 2;{z_C} + 4} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow u \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 3 = 1\\{y_C} + 2 = 3\\{z_C} + 4 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 1\\{z_C} =  - 11\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {4;1; - 11} \right)\).

Do đó, ý d) đúng.