Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khi đó:  

a) \(\overrightarrow {B'B}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {B'D} \).

b) \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD} \).

c) \(\left| {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {C'A} } \right| = 2a\).

d) Với \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,BB'\) thì \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {B'B}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D} \). Do đó, ý a) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'}  \ne \overrightarrow {BD} \). Vậy ý b) sai.

– Ta có: \(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {C'A}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {C'C} \).

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right| = CC' = a\). Vậy ý c) sai.

–

Vì \(AC'\) là đường chéo của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\) nên \(AC' = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)^2}\)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {BB'} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BB'}  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {AD} \)

\( = {a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + 0 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}{a^2}\).

Do đó, \({\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{3}{2}{a^2}\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\).

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {AC'}  \cdot \overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}\)\( + \overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {BB'}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {AD} \)

\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  \cdot \overrightarrow {BB'} \)

\( = {a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} = {a^2}\).

Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {AC'} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\). Do đó, ý d) đúng.