Câu hỏi:
10/10/2024 2,505
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'D} \).
b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} \).
c) \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = 2a\).
d) Với \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,BB'\) thì \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khi đó:
a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'D} \).
b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} \).
c) \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = 2a\).
d) Với \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,BB'\) thì \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
Câu hỏi trong đề:
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh Diều có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
Hướng dẫn giải
– Ta có: \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D} \). Do đó, ý a) đúng.
– Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \ne \overrightarrow {BD} \). Vậy ý b) sai.
– Ta có: \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {C'A} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C'C} \).
Do đó, \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right| = CC' = a\). Vậy ý c) sai.
–
Vì \(AC'\) là đường chéo của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\) nên \(AC' = a\sqrt 3 \).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).
Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)^2}\)
\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {BB'} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {AD} \)
\( = {a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + 0 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}{a^2}\).
Do đó, \({\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{3}{2}{a^2}\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\).
Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Khi đó, \(\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\)
\( = {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}\)\( + \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD} \)
\( = {\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BB'} \)
\( = {a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} = {a^2}\).
Vậy \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {AC'} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\). Do đó, ý d) đúng.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = 2x + 1 - \frac{3}{{x + 1}}\) là đường thẳng
Xem đáp án »
10/10/2024
5,844
Câu 2:
Cho \(a \ne 0,\,{b^2} - 3ac > 0\). Hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Xem đáp án »
10/10/2024
2,892
Câu 3:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là
Xem đáp án »
10/10/2024
2,859
Câu 4:
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 9}}{{x - 1}}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Xem đáp án »
10/10/2024
2,082
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 5\).
a) Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
b) Giá trị cực đại của hàm số đã cho là \( - 1\).
c) Đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm \(\left( {0;\,5} \right),\,\,\left( {1; - 6} \right),\,\left( { - 1;\, - 10} \right)\).
d) Đường thẳng \(y = - 22\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 5\).
a) Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
b) Giá trị cực đại của hàm số đã cho là \( - 1\).
c) Đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm \(\left( {0;\,5} \right),\,\,\left( {1; - 6} \right),\,\left( { - 1;\, - 10} \right)\).
d) Đường thẳng \(y = - 22\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại 3 điểm phân biệt.
Xem đáp án »
10/10/2024
2,040
Câu 6:
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + n}}\) (với \(a \ne 0\)) có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = - 3\); đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = - 2\).
d) Công thức xác định hàm số đã cho là \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + n}}\) (với \(a \ne 0\)) có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = - 3\); đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).
c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = - 2\).
d) Công thức xác định hàm số đã cho là \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\).
Xem đáp án »
10/10/2024
1,817
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!