Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\).

a) Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) Hàm số đã cho có 2 cực trị.

c) Đồ thị hàm số nhận điểm \(I\left( {2;2} \right)\) là tâm đối xứng.

d) Có 5 điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x - \frac{3}{{x - 2}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

– Ta có \(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 2\).

– Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - \frac{3}{{x - 2}}} \right) =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - \frac{3}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\) và tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\). Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm \(I\left( {2;\,2} \right)\) của hai đường tiệm cận nên ý c) đúng.

– Với \(x \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ 2 \right\}\) thì \(y \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi \(\frac{3}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\), tức là \(x - 2 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\).

Ta có:

Vậy có 4 điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên nên ý d) sai.