Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB\, = a\), \(AA' = a\sqrt 2 \).

a) \(\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CC'} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC'} } \right| = \sqrt 3 \).

c) \(\overrightarrow {AB'}  \cdot \overrightarrow {BC'}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác đều nên \(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {BB'} \).

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CC'} \). Vậy ý a) đúng.

– Ta có \(ABB'A',\,\,BCC'B'\) là các hình chữ nhật có hai kích thước là \(a\) và \(a\sqrt 2 \).

Do đó, \(AB' = BC' = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 3 \). Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC'} } \right| = \sqrt 3 \).

Vậy ý b) đúng.

– Ta có \(\overrightarrow {AB'}  \cdot \overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {CC'} \)

\( =  - AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {BAC} + 0 + 0 + B{B'^2}\)

\( =  - a \cdot a \cdot \cos 60^\circ  + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)\( = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'}  \cdot \,\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \).

Vậy ý c) sai và ý d) đúng.