Câu hỏi:
14/10/2024 1,380Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right)\] bằng
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Từ giả thiết, ta có: \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\].
Xét với mọi \[x \in \left[ {1;2} \right]\], ta có:
\[\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} dx\].
\[ \Rightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} dx = \int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} \]
\[ \Rightarrow - \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{{ - 1}}{{x + \frac{1}{x}}} + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + C.\]
Mà \[f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 1 = 2 + C \Leftrightarrow C = - 1\].
Vậy \[f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} - 1\].
Suy ra \[f\left( 2 \right) = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2}.\]
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] với \[f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\] biết \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\]. Tính \[F\left( 2 \right)\].
Xem đáp án »
14/10/2024
6,902
Câu 2:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
Xem đáp án »
14/10/2024
616
Câu 6:
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
Xem đáp án »
14/10/2024
304
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận