Cho phương trình  (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc (−π; π).

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt t = sin2x tìm điều kiện của t khi x ∈ (−π; π).

Bước 2:Đưa phương trình ban đầu về phương trình ẩn t và giải phương trình với điều kiện ở bước 1.

Bước 3: Nếu có nghiệm t không phụ thuộc vào m thì thay vào t = sin2x tìm nghiệm x ∈ (−π; π).

Bước 4: Biện luận m.

Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lời giải

Bước 1:\((2m + 1){\cos ^2}2x - (3m - 1)\sin 2x - 3m + 1 = 0\)

Ta có \((2m + 1){\cos ^2}2x - (3m - 1)\sin 2x - 3m + 1 = 0\) (∗).

Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow  - 1 \le t \le 1\,\,(x \in ( - \pi ;\pi ))\)

Bước 2:

Khi đó phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}(2m + 1)\left( {1 - {t^2}} \right) - (3m - 1)t - 3m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (2m + 1){t^2} + (3m - 1)t + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow (t + 1)((2m + 1)t + m - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t =  - 1}\\{(2m + 1)t + m - 2 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Bước 3:

Nếu: \(t =  - 1\,\,(tm) \Rightarrow \sin 2x =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in {\rm{Z}})\\ \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi  \in ( - \pi ;\pi )\\ \Rightarrow \frac{{ - 3}}{4} < k < \frac{5}{4} \Rightarrow k \in \{ 0;1\} \end{array}\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \(\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{3\pi }}{4}\)

Bước 4:

\[\left( {2m + 1} \right)t = 2 - m\] (1).

+) Nếu \(m = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{ }}\)

Từ (1)\( \Rightarrow m = 2\,\,({\rm{ktm}})\)

+) \(m \ne \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow t = \frac{{2 - m}}{{2m + 1}}\)

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thì

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{2 - m}}{{2m + 1}} =  - 1}\\{t <  - 1}\\{t > 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 3}\\{\frac{{m + 3}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow m \in \{  - 2; - 1\} }\\{\frac{{3m - 1}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} < m < \frac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.