Minh, Quyên và Vân mỗi người quyên góp tiền cho một tổ chức từ thiện. Minh đã quyên góp số tiền bằng số tiền mà Quyên và Vân đã đưa cùng nhau. Nếu Quyên cho nhiều hơn gấp ba lần số tiền anh ấy đã cho thì anh ấy sẽ cho nhiều hơn Minh 40 đô la. Và nếu Vân đưa ít hơn 20 đô la thì cô ấy sẽ cho một nửa số tiền của Minh. Minh đã cho bao nhiêu? 

Phương pháp giải

Lời giải

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện:

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần như hình vẽ trên. Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL + LS.

Từ giả thiết về hình chóp đều S.ABCD ta có \[\widehat {ASL} = {120^o}\].

Ta có \[A{L^2} = S{A^2} + S{L^2} - 2SA.SL.\cos \widehat {ASL}\] \( = {200^2} + {40^2} - 2.200.40.\cos {120^^\circ } = 49600.\)

Nên \(AL = \sqrt {49600}  = 40\sqrt {31} .\)

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là \(40\sqrt {31}  + 40\) mét.

 Chọn C

Phương pháp giải

Lời giải

Theo bài cho, tổng số viên bi có trong hộp là: n + 8 (n ∈ N*).

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là: \(n(\Omega ) = C_{n + 8}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố: "3 viên bi lấy được có đủ ba màu". Số kết quả thuận lợi cho \(A\) là:

\(n(A) = C_5^1.C_3^1.C_n^1 = 15n{\rm{. }}\)

\( \Rightarrow \) Xác suất để trong 3 viên bi lấy được có đủ ba màu là:

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{15n}}{{C_{n + 8}^3}} = \frac{{90n}}{{(n + 6)(n + 7)(n + 8)}}\)

Theo bài, ta có: \(P(A) = \frac{{45}}{{182}}\) nên ta được phương trình:

\(\frac{{90n}}{{(n + 6)(n + 7)(n + 8)}} = \frac{{45}}{{182}} \Leftrightarrow 364n = (n + 6)(n + 7)(n + 8)\)

\( \Leftrightarrow {n^3} + 21{n^2} - 218n + 336 = 0.\)

Giải phương trình trên với điều kiện \(n\) là số nguyên dương, ta được \(n = 6\).

Do đó, trong hộp có tất cả 14 viên bi và \(n(\Omega ) = C_{14}^3\).

Gọi \(B\) là biến cố: "3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ". Suy ra, \(\bar B\) là biến cố: "3 viên bi lấy được đều là bi đỏ". Số kết quả thuận lợi cho \(\bar B\) là: \(n(\bar B) = C_5^3\).

Khi đó, xác suất \(P\) để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:

\(P = P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - \frac{{n(\bar B)}}{{n(\Omega )}} = 1 - \frac{{C_5^3}}{{C_{14}^3}} = \frac{{177}}{{182}}\).

 Chọn B