Câu hỏi:

23/10/2024 92

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^o }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) ________

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 14) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^o }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) __ 8 __

Giải thích

$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^^\circ }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) ________ (ảnh 1)$

Gọi ${M_1}$ là điểm biểu diễn của số phức $3{z_1}$, suy ra $O{M_1} = 3$.

Gọi ${N_1}$ là điểm biểu diễn của số phức $2{z_2}$, suy ra $O{N_1} = 6$. Gọi $P$ là điểm sao cho

$\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{N_1}} = \overrightarrow {OP} $. Suy ra tứ giác $O{M_1}P{N_1}$ là hình bình hành.

Do từ giả thiết $\widehat {MON} = {120^o }$, suy ra ${\widehat {{M_1}ON}_1} = {120^o } \Rightarrow \widehat {O{M_1}P} = {60^o }$.

Dùng định lí cosin trong tam giác $O{M_1}{N_1}$ ta tính được ${M_1}{N_1} = \sqrt {9 + 36 - 2.3.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} = 3\sqrt 7 $;

và định lí cosin trong tam giác $O{M_1}P$ ta có $OP = \sqrt {9 + 36 - 2.3.6.\frac{1}{2}} = 3\sqrt 3 $.

Ta có ${M_1}{N_1} = \left| {3{z_1} - 2{z_2}} \right| = 3\sqrt 7 ;OP = \left| {3{z_1} + 2{z_2}} \right| = 3\sqrt 3 $.

Tìm giá trị lớn nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$.

Đặt $3{z_1} + 2{z_2} = {w_1} \Rightarrow \left| {{w_1}} \right| = 3\sqrt 3 $, suy ra điểm biểu diễn ${w_1}$ là $A$ thuộc đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính ${R_1} = 3\sqrt 3 $. Gọi điểm ${Q_1}$ là biểu diễn số phức 3i.

Khi đó $\left| {3{{\rm{z}}_1} + 2{z_2} - 3i} \right| = A{Q_1}$, bài toán trở thành tìm ${\left( {A{Q_1}} \right)_{\max }}$ biết điểm $A$ trên đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$.

Dễ thấy ${\left( {A{Q_1}} \right)_{\max }} = O{Q_1} + {R_1} = 3 + 3\sqrt 3 $.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right| = \left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} - ( - 1 + 2i)} \right|$.

Đặt $3{z_1} - 2{z_2} = {w_2} \Rightarrow \left| {{w_2}} \right| = 3\sqrt 7 $, suy ra điểm biểu diễn ${w_2}$ là $B$ thuộc đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính ${R_1} = 3\sqrt 7 $. Gọi điểm ${Q_2}$ là biểu diễn số phức $ - 1 + 2i$.

Khi đó $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} - ( - 1 + 2i)} \right| = B{Q_2}$, bài toán trở thành tìm ${\left( {B{Q_2}} \right)_{\min }}$ biết điểm $B$ trên đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$.

Dễ thấy điểm ${Q_2}$ nằm trong đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ nên ${\left( {B{Q_2}} \right)_{\min }} = {R_2} - O{Q_2} = 3\sqrt 7 - \sqrt 5 $.

Vậy ${M_0} + {m_0} = 3\sqrt 7 + 3\sqrt 3 - \sqrt 5 + 3$.

Suy ra $a + b + c + d = 8$.

Bình luận

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho 2 vectơ $\vec a,\vec b$ tạo với nhau góc ${120^o }$ và $|\vec a| = 3;|\vec b| = 5$. Giá trị của $T = |\vec a - \vec b|$ bằng (1) _______.

Xem đáp án » 23/10/2024 2,575

Câu 2:

Khẳng định nào sau đây là đúng? Một động cơ nhiệt hoạt động tốt có nghĩa là

A. càng nhiều nhiệt lượng nhận từ nguồn nhiệt Q1 chuyển thành công càng tốt.

B. càng nhiều nhiệt lượng nhận từ nguồn nhiệt Q2 chuyển thành công càng tốt.

C. càng nhiều nhiệt lượng lấy từ nguồn nhiệt Q1 chuyển sang nguồn nhiệt Q2 càng tốt.

D. càng nhiều nhiệt lượng lấy từ nguồn nhiệt Q2 chuyển sang nguồn nhiệt Q1 càng tốt.

Xem đáp án » 30/06/2024 1,473

Câu 3:

Cho ba số $a = {1000^{1001}},b = {2^{{2^{64}}}}$ và $c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}}$.

A. $c < a < b$.

B. $b < a < c$.

C. $c < b < a$.

D. $a < c < b$.

Xem đáp án » 23/10/2024 1,390

Câu 4:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = {x^2}(x + 2)(x - 3)$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Hàm số $f(x)$ có 3 điểm cực trị.

Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên (-2;3).

Hàm số $f(x)$ có điểm cực đại là x = 2.

Xem đáp án » 23/10/2024 1,216

Câu 5:

Phát biểu sau đúng hay sai?

Hợp chất hữu cơ X có phần trăm khối lượng của các nguyên tố như sau: %C = 45,80%; %H = 10,57%; %N = 13,24%, còn lại là O. Biết M_C =12,01 g/mol, M_H = 1,008 g/mol và M_O = 16,00 g/mol. Công thức kinh nghiệm của X là C₄H₁₀NO₂.

A, Đúng

B. Sai

Xem đáp án » 30/06/2024 1,037

Câu 6:

Cho $\log _2^2(xy) = {\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right){\log _2}(4y)$. Biểu thức $P = {\log _3}(x + 4y + 4) + {\log _2}(x - 4y - 1)$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 3.

B. 2.

C. $\frac{5}{6}$.

D. $\frac{3}{2}$.

Xem đáp án » 23/10/2024 926

Câu 7:

Phát biểu sau đúng hay sai?

Phương trình phản ứng xảy ra trong thí nghiệm 2 là: 2H2+O2→2H2O.

A. Đúng

B. Sai

Xem đáp án » 30/06/2024 914

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Bình luận

Trong không gian Oxyz, cho 2 vectơ \(\vec a,\vec b\) tạo với nhau góc \({120^o }\) và \(|\vec a| = 3;|\vec b| = 5\). Giá trị của \(T = |\vec a - \vec b|\) bằng (1) _______.

Khẳng định nào sau đây là đúng? Một động cơ nhiệt hoạt động tốt có nghĩa là

Cho ba số \(a = {1000^{1001}},b = {2^{{2^{64}}}}\) và \(c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}}\).

Cho \(\log _2^2(xy) = {\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right){\log _2}(4y)\). Biểu thức \(P = {\log _3}(x + 4y + 4) + {\log _2}(x - 4y - 1)\) có giá trị bằng bao nhiêu?

Phát biểu sau đúng hay sai?

Phương trình phản ứng xảy ra trong thí nghiệm 2 là: 2H2+O2→2H2O.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Phát biểu	Đúng	Sai
Hàm số \(f(x)\) có 3 điểm cực trị.
Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên (-2;3).
Hàm số \(f(x)\) có điểm cực đại là x = 2.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Trong không gian Oxyz, cho 2 vectơ \(\vec a,\vec b\) tạo với nhau góc \({120^o }\) và \(|\vec a| = 3;|\vec b| = 5\). Giá trị của \(T = |\vec a - \vec b|\) bằng (1) _______.

Khẳng định nào sau đây là đúng? Một động cơ nhiệt hoạt động tốt có nghĩa là

Cho ba số \(a = {1000^{1001}},b = {2^{{2^{64}}}}\) và \(c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}}\).

Phát biểu sau đúng hay sai? Hợp chất hữu cơ X có phần trăm khối lượng của các nguyên tố như sau: %C = 45,80%; %H = 10,57%; %N = 13,24%, còn lại là O. Biết MC =12,01 g/mol, MH = 1,008 g/mol và MO = 16,00 g/mol. Công thức kinh nghiệm của X là C4H10NO2.

Cho \(\log _2^2(xy) = {\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right){\log _2}(4y)\). Biểu thức \(P = {\log _3}(x + 4y + 4) + {\log _2}(x - 4y - 1)\) có giá trị bằng bao nhiêu?

Phát biểu sau đúng hay sai? Phương trình phản ứng xảy ra trong thí nghiệm 2 là: 2H2+O2→2H2O.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Phát biểu sau đúng hay sai?

Phương trình phản ứng xảy ra trong thí nghiệm 2 là: 2H2+O2→2H2O.