Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau

Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 3}  + ax + b}}{{{{(x - 1)}^2}}}\,\,(C)\) không có tiệm cận đứng. Khi đó, a = _____ ; b = ____ và đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = _____.

Đáp án

Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 3}  + ax + b}}{{{{(x - 1)}^2}}}\,\,(C)\) không có tiệm cận đứng. Khi đó, a = \( - \frac{1}{4}\) ; b = \( - \frac{7}{4}\)   và đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 .

Giải thích

Đặt \(f(x) = \sqrt {x + 3}  + ax + b \Rightarrow {f^\prime }(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + a\).

Để đồ thị hàm số \((C)\) không có tiệm cận đứng thì phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm kép \(x = 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(1) = 0}\\{{f^\prime }(1) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 + a + b = 0}\\{\frac{1}{4} + a = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{1}{4}}\\{b =  - \frac{7}{4}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {x + 3}  - \frac{1}{4}x - \frac{7}{4}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \((C)\).