Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + 2y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.$

Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng đi qua các điểm $A(1;1;1),B(2; - 1; - 3)$ với mặt phẳng $(P)$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Điểm M(0;−1;−1) là giao điểm của d và (P).
$\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{4}{3}$.
Hình chiếu d′ của đường thẳng d trên mặt phẳng (P) có phương trình  $\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}$.

Đáp án

Giải thích

Thay tọa độ điểm $M(0; - 1; - 1)$ vào phương trình đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ta thấy đều thỏa mãn. Vậy $M = d \cap (P)$.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng $(P) \Rightarrow \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d(A;(P))}}{{d(B;(P))}} = \frac{2}{3}$.

Ta có: $AH//BK \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{2}{3}$.

Nếu ${d^\prime }$ là hình chiếu của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$ thì ${d^\prime } \subset (P)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}}  \bot \overrightarrow {{u_{d'}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2;2; - 1);\overrightarrow {{u_{d'}}}  = ( - 2; - 2;1) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - 9 \ne 0$.

Vậy ${d^\prime }$ không là hình chiếu của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $(P)$.