Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(2x + 2y - z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng đi qua các điểm \(A(1;1;1),B(2; - 1; - 3)\) với mặt phẳng \((P)\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Điểm M(0;−1;−1) là giao điểm của d và (P).
\(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{4}{3}\).
Hình chiếu d′ của đường thẳng d trên mặt phẳng (P) có phương trình  \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Đáp án

Giải thích

Thay tọa độ điểm \(M(0; - 1; - 1)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) ta thấy đều thỏa mãn. Vậy \(M = d \cap (P)\).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng \((P) \Rightarrow \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d(A;(P))}}{{d(B;(P))}} = \frac{2}{3}\).

Ta có: \(AH//BK \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{2}{3}\).

Nếu \({d^\prime }\) là hình chiếu của đường thẳng \(d\) trên mặt phẳng \((P)\) thì \({d^\prime } \subset (P)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}}  \bot \overrightarrow {{u_{d'}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0.\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2;2; - 1);\overrightarrow {{u_{d'}}}  = ( - 2; - 2;1) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - 9 \ne 0\).

Vậy \({d^\prime }\) không là hình chiếu của đường thẳng \(d\) trên mặt phẳng \((P)\).