Cho khai triển \({(1 + 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n},n \ge 1\) thỏa mãn \({a_k} = {a_{k + 1}}\) (với \(k\) là số tự nhiên \((0 \le k \le n - 1)\) ).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Hệ số \(k = \frac{{an - 1}}{b}\) với ab bằng ______.

Số giá trị nguyên của \(n\) với \(n \le 2023\) thỏa mãn là ______.

Đáp án

Hệ số \(k = \frac{{an - 1}}{b}\) với ab bằng 6 .

Số giá trị nguyên của \(n\) với \(n \le 2023\) thỏa mãn là 674 .

Giải thích

Ta có: \({(1 + 2x)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {.2^i}{x^i} \Rightarrow {a_i} = C_n^i{.2^i}\).

\({a_k} = {a_{k + 1}} \Leftrightarrow C_n^k{2^k} = C_n^{k + 1}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}{2^k} = \frac{{n!}}{{(k + 1)!(n - k - 1)!}}{2^{k + 1}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{n - k}} = \frac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 = 2n - 2k \Leftrightarrow k = \frac{{2n - 1}}{3} \Rightarrow ab = 6.\)

\({\rm{V\`i  }}0 \le k \le n - 1{\rm{ n\^e n }}0 \le \frac{{2n - 1}}{3} \le n - 1 \Rightarrow n \ge 2\)

Xét các trường hợp sau:

+) \(n = 3m\,\,(m \in \mathbb{N}) \Rightarrow k = \frac{{2.3m - 1}}{3} = 2m - \frac{1}{3} \notin \mathbb{N}\) (loại)

+) \(n = 3m + 1\,\,(m \in \mathbb{N}) \Rightarrow k = \frac{{2.(3m + 1) - 1}}{3} = 2m + \frac{1}{3} \notin \mathbb{N}\) (loại)

+) \(n = 3m + 2\,\,(m \in \mathbb{N}) \Rightarrow k = \frac{{2.(3m + 2) - 1}}{3} = 2m + 1 \in \mathbb{N}\) (tm)

Vậy \(2 \le n \le 2023\) và \(n = 3m + 2\,\,(m \in \mathbb{N}) \Rightarrow 2 \le 3m + 2 \le 2023 \Rightarrow 0 \le m \le 673\).

Vậy có 674 giá trị \(m\) thỏa mãn hay có 674 giá trị \(n\) nguyên thỏa mãn.