Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(AB = AD = 2a,CD = a\), góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABCD)\) bằng \({30^o }\). Gọi \(I\) là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng \((SBI)\) và \((SCI)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), khoảng cách giữa SA và CD là \(\frac{{a\sqrt k }}{2}\) với \(k = \) (1) _________.

Đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(AB = AD = 2a,CD = a\), góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABCD)\) bằng \({30^o }\). Gọi \(I\) là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng \((SBI)\) và \((SCI)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), khoảng cách giữa SA và CD là \(\frac{{a\sqrt k }}{2}\) với \(k = \) (1) __ 6 __ .

Giải thích

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBI) \bot (ABCD)}\\{(SCI) \bot (ABCD)\quad  \Rightarrow SI \bot (ABCD)}\\{(SBI) \cap (SCI) = SI}\end{array}} \right.\)

Kẻ \(IM \bot BC(M \in BC) \Rightarrow BC \bot (SIM)\) suy ra góc tạo bởi \((SBC)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {SMI} = {30^o }\)

Ta có: \(CD//AB \Rightarrow d(CD;SA) = d(CD;(SAB)) = d(D;(SAB))\)

Mặt khác \(\frac{{d(D;(SAB))}}{{d(I;(SAB))}} = \frac{{DA}}{{IA}} = 2\)

Kẻ \(IH \bot SA \Rightarrow d(I;(SAB)) = IH\)

Ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{{(AB + CD).AD}}{2} = 3{a^2},{S_{IAB}} + {S_{ICD}} = \frac{{AI.AB}}{2} + \frac{{ID.IC}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Suy ra \({S_{IBC}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{IAB}} + {S_{IDC}}} \right) = \frac{{3{a^2}}}{2}\)

Mặt khác \(BC = \sqrt {{{(AB - DC)}^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 5  \Rightarrow IM = \frac{{2{S_{IBC}}}}{{BC}} = \frac{{2\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\)

Xét tam giác SIM ta có: \(SI = IM.\tan \widehat {HMI} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\tan {30^o } = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{8}{{3{a^2}}} \Rightarrow IH = \frac{{a\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow d(CD;SA) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow k = 6.\)