Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB = AD = 2a,CD = a$, góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng ${30^o }$. Gọi $I$ là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, khoảng cách giữa SA và CD là $\frac{{a\sqrt k }}{2}$ với $k =$ (1) _________.

Đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB = AD = 2a,CD = a$, góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ bằng ${30^o }$. Gọi $I$ là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng $(SBI)$ và $(SCI)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, khoảng cách giữa SA và CD là $\frac{{a\sqrt k }}{2}$ với $k =$ (1) __ 6 __ .

Giải thích

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBI) \bot (ABCD)}\\{(SCI) \bot (ABCD)\quad  \Rightarrow SI \bot (ABCD)}\\{(SBI) \cap (SCI) = SI}\end{array}} \right.$

Kẻ $IM \bot BC(M \in BC) \Rightarrow BC \bot (SIM)$ suy ra góc tạo bởi $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\widehat {SMI} = {30^o }$

Ta có: $CD//AB \Rightarrow d(CD;SA) = d(CD;(SAB)) = d(D;(SAB))$

Mặt khác $\frac{{d(D;(SAB))}}{{d(I;(SAB))}} = \frac{{DA}}{{IA}} = 2$

Kẻ $IH \bot SA \Rightarrow d(I;(SAB)) = IH$

Ta có: ${S_{ABCD}} = \frac{{(AB + CD).AD}}{2} = 3{a^2},{S_{IAB}} + {S_{ICD}} = \frac{{AI.AB}}{2} + \frac{{ID.IC}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2}$

Suy ra ${S_{IBC}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{IAB}} + {S_{IDC}}} \right) = \frac{{3{a^2}}}{2}$

Mặt khác $BC = \sqrt {{{(AB - DC)}^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 5  \Rightarrow IM = \frac{{2{S_{IBC}}}}{{BC}} = \frac{{2\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}$

Xét tam giác SIM ta có: $SI = IM.\tan \widehat {HMI} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\tan {30^o } = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}$

$\Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{8}{{3{a^2}}} \Rightarrow IH = \frac{{a\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow d(CD;SA) = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow k = 6.$