Cho phương trình \(3{\cos ^2}x + 2|\sin x| = m\) (∗) với m là tham số.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Với m = 1, phương trình (∗) có 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Có 2 giá trị nguyên của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm.
Có một giá trị của tham số m để phương trình (∗) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).

Đáp án

Giải thích

Ta có:

\(3{\cos ^2}x + 2|\sin x| = m\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 2|\sin x| = m\)

\( \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 2|\sin x| + m - 3 = 0\) (∗∗)

+, Với m = 1, phương trình trở thành: \[3{\sin ^2}x - 2\left| {\sin x} \right| - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {\sin x} \right| = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{3}}\\{\left| {\sin x} \right| = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{3}}\end{array}} \right.\,\,\left( L \right)\]

Vậy với m = 1, phương trình (∗) vô nghiệm.

+, Đặt \(t = |\sin x|\,\,(t \ge 0)\). Phương trình (∗∗) trở thành: \(m =  - 3{t^2} + 2t + 3\).

Phương trình (∗) có nghiệm ⇔(∗∗) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn \(0 \le \sin x \le 1\).

⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(f(t) =  - 3{t^2} + 2t + 3\) tại ít nhất một điểm có hoành độ thỏa mãn \[0 \le {t_0} \le 1\].

Bảng biến thiên của hàm số \(f(t) =  - 3{t^2} + 2t + 3\) trên [0;1]:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow 2 \le m \le \frac{{10}}{3}\) hay có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \((*)\) có nghiệm.

+ , Trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\), nếu \(x\) là nghiệm của phương trình \((*)\) thì \( - x\) cũng là nghiệm của \((*)\).

Để phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì \(x = 0\).

Với \(x = 0\) ta có: \((**) \Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)

Thử lại, với \(m = 3\), phương trình \((**)\) trở thành \(3{\sin ^2}x - 2\left| {\sin x} \right| = 0 \Leftrightarrow \)\(\begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x =  \pm \frac{2}{3}\end{array}\)

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\), phương trình \((*)\) có nhiều hơn một nghiệm.

Vậy không tồn tại giá trị của tham số m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).