Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z - 1 - 2i| \le 1\) và \(|z - 1 + 2i| \ge |z + 3 - 2i|\). Diện tích phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn của số phức \(z\) bằng (1) _______. (Lấy \(\pi  \approx 3,14\) và kết quả viết dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z - 1 - 2i| \le 1\) và \(|z - 1 + 2i| \ge |z + 3 - 2i|\). Diện tích phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn của số phức \(z\) bằng (1) __ 157/100 __ . (Lấy \(\pi  \approx 3,14\) và kết quả viết dưới dạng phân số tối giản).

Giải thích

Giả sử \(z = x + yi\quad (x,y \in \mathbb{R}){\rm{.}}\)

Khi đó \(|z - 1 - 2i| \le 1 \Leftrightarrow |(x - 1) + (y - 2)i| \le 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}}  \le 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} \le 1\).

Và \(|z - 1 + 2i| \ge |z + 3 - 2i|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2}}  \ge \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y - 2)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} \ge {(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} \Leftrightarrow y \ge x + 1.\)

Gọi (T) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d:y = x + 1\), không chứa gốc tọa độ O(0;0). Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề là nửa hình tròn (C) tâm I(1;2), bán kính R = 1 và thuộc (T) (phần tô màu trên hình vẽ).

Vì đường thẳng d đi qua tâm I(1;2) của hình tròn (C) nên diện tích cần tìm là một nửa diện tích hình tròn (C). Do đó \[S = \frac{\pi }{2} \approx \frac{{157}}{{100}}\].