Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(x) = 3f\left( {\frac{x}{2}} \right)\). Gọi \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F(4) = 1\) và \(2F(8) + 5F(2) = 0\).

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
1) \(F(x) = \frac{3}{2}F\left( {\frac{x}{2}} \right)\).
2) \[F\left( 8 \right) < 0\].
3) \(\int\limits_0^2 {f(3x + 2)dx = 6} \).

Đáp án

Giải thích

Ta có \(f(x) = 3f\left( {\frac{x}{2}} \right) \Leftrightarrow \int f (x)dx = \int 3 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx \Leftrightarrow \int f (x)dx = \int 6 f\left( {\frac{x}{2}} \right)d\left( {\frac{x}{2}} \right) \Leftrightarrow F(x) = 6F\left( {\frac{x}{2}} \right) + C.\)

Với \(x = 4 \Rightarrow F(4) = 6F(2) + C \Rightarrow 6F(2) + C = 1\)  (1).

Với \(x = 8 \Rightarrow F(8) = 6F(4) + C \Rightarrow F(8) - C = 6\) (2).

Từ (1) và (2) ta có \[6F\left( 2 \right) + F\left( 8 \right) = 7\].

Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}6F(2) + F(8) = 7\\5F(2) + 2F(8) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F(2) = 2\\F(8) =  - 5\end{array} \right.\)

Có \(\int_0^2 f (3x + 2)dx = \frac{1}{3}\int_0^2 f (3x + 2)d(3x + 2) = \left. {\frac{1}{3}F(3x + 2)} \right|_0^2 = \frac{1}{3}(F(8) - F(2)) = \frac{1}{3}( - 5 - 2) = \frac{{ - 7}}{3}\).