Cho hàm số \(y = (m - 1){x^4} + \left( {{m^2} - 2} \right){x^2} + 2023\) (\(m\) là tham số).

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua điểm (0;2023) với mọi \(m\).
Với m = 1 thì hàm số đã cho có đúng 1 cực trị.
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 thì \[m = {\rm{ }} - 1 - \sqrt 5 \].

Đáp án

Giải thích

\(y = (m - 1){x^4} + \left( {{m^2} - 2} \right){x^2} + 2023{\rm{ }}\)có \(y' = 4(m - 1){x^3} + 2\left( {{m^2} - 2} \right)x\).

Ta có \[y\left( 0 \right) = 2023\] với mọi m nên với mọi giá trị của tham số m thì đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua điểm (0; 2023).

Với m = 1, hàm số đã cho trở thành\(y =  - {x^2} + 2023\) là hàm số bậc hai nên có đúng 1 cực trị.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 khi

\[\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y''\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {m - 1} \right){.1^3} + 2\left( {{m^2} - 2} \right).1 = 0\\12\left( {m - 1} \right){.1^2} + 2\left( {{m^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m - 4 = 0\\{m^2} + 6m - 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \sqrt 5  - 1\].

Thử lại, với \(m = \sqrt 5  - 1\) ta có \(x = 1\) là điểm cực tiểu.