Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {3m + 2} \right)x - 5m + 2\), với \(m\) là tham số.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Có _____ giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Có _____ giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số đã cho nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1.

Đáp án

Có 9    giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Có 18  giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số đã cho nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1.

Giải thích

a) Ta có: \(y' = {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 3m + 2\).

Hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\) khi và chỉ khi

\(y' = f\left( x \right) = {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 3m + 2 \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn

\({x_1} \le 0 < 1 \le {x_2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}{x_2} \le 0}\\{\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3m + 2 \le 0}\\{m + 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m \le  - 2} \right.} \right.\).

Mà \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\), \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 10; - 9; \ldots ; - 2} \right\}\). Vậy có 9 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn ycbt.

b) Tam thức \(y' = f\left( x \right)\) có biệt thức \({\rm{\Delta }} = 4{m^2} - 8m - 7\).

Nếu \({\rm{\Delta }} \le 0\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số luôn đồng biến (không thỏa mãn).

Nếu \({\rm{\Delta }} > 0\) thì \(y' \le 0 \Leftrightarrow {x_1} \le x \le {x_2}\), hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

Để hàm số nghịch biến trong khoảng có độ dài lớn hơn 1 thì \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} > 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} > 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo định lí Viete, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m + 1,{x_1}{x_2} = 3m + 2\).

Thay vào (1), ta tìm được \(m < 1 - \sqrt 3 \) hoặc \(m > 1 + \sqrt 3 \) (thỏa mãn \({\rm{\Delta }} > 0\)).

Mà \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\), \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 10; - 9; \ldots ; - 1;3; \ldots ;10} \right\}\). Vậy có 18 giá trị của \(m\) thỏa mãn ycbt.