Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} - frac{1}{2} left( {2m + 1} right){x^2} + left( {3m + 2} right)x - 5m + 2 ), với (m ) là tham số. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: Có _...

Đáp án Có 9 giá trị nguyên của (m ) thuộc ( left[ { - 10;10} right] ) để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng ( left( {0;1} right) ). Có 18 giá trị nguyên của (m ) thuộc ( left[ { - 10;10} right] ) để hàm số đã cho nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1. Giải thích a) Ta có: (y' = {x^2} - left( {2m + 1} right)x + 3m + 2 ). Hàm số nghịch biến trong khoảng ( left( {0;1} right) ) khi và chỉ khi (y' = f left( x right) = {x^2} - left( {2m + 1} right)x + 3m + 2 le 0, forall x in left( {0;1} right) ). ( Leftrightarrow ) Phương trình (f left( x right) = 0 ) có hai nghiệm ({x_1},{x_2} ) thỏa mãn ({x_1} le 0 < 1 le {x_2} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}{x_2} le 0} { left( {1 - {x_1}} right) left( {1 - {x_2}} right) le 0} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{3m + 2 le 0} {m + 2 le 0} end{array} Leftrightarrow m le - 2} right.} right. ). Mà (m in left[ { - 10;10} right] ), (m ) nguyên nên (m in left { { - 10; - 9; ldots ; - 2} right } ). Vậy có 9 giá trị nguyên của (m ) thỏa mãn ycbt. b) Tam thức (y' = f left( x right) ) có biệt thức ({ rm{ Delta }} = 4{m^2} - 8m - 7 ). Nếu ({ rm{ Delta }} le 0 ) thì (y' ge 0, forall x in mathbb{R} ) nên hàm số luôn đồng biến (không thỏa mãn). Nếu ({ rm{ Delta }} > 0 ) thì (y' le 0 Leftrightarrow {x_1} le x le {x_2} ), hàm số nghịch biến trong khoảng ( left( {{x_1};{x_2}} right) ). Để hàm số nghịch biến trong khoảng có độ dài lớn hơn 1 thì ( left| {{x_1} - {x_2}} right| > 1 Leftrightarrow { left( {{x_1} - {x_2}} right)^2} > 1 ) ( Leftrightarrow { left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 4{x_1}{x_2} > 1 , , , left( 1 right) ) Theo định lí Viete, ta có: ({x_1} + {x_2} = 2m + 1,{x_1}{x_2} = 3m + 2 ). Thay vào (1), ta tìm được (m < 1 - sqrt 3 ) hoặc (m > 1 + sqrt 3 ) (thỏa mãn ({ rm{ Delta }} > 0 )). Mà (m in left[ { - 10;10} right] ), (m ) nguyên nên (m in left { { - 10; - 9; ldots ; - 1;3; ldots ;10} right } ). Vậy có 18 giá trị của (m ) thỏa mãn ycbt.