Cho hàm số \(y = {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x\)

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{9}{8}\).
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \) hoặc \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án

Giải thích

Ta có:

\(y = {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x\)

\( \Leftrightarrow y = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x \Leftrightarrow y = 1 - \frac{1}{2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}2x + \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x\)

\( \Leftrightarrow y = 1 - \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{\rm{sin}}2x - \frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}} \right] \Leftrightarrow y = \frac{9}{8} - \frac{1}{2}{\left( {{\rm{sin}}2x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{8}\).

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{9}{8}\) khi \[{\rm{sin}}2x = \frac{1}{2} = {\rm{sin}}\frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].