Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36$. Gọi ${\rm{\Delta }}$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ có khoảng cách nhỏ nhất. Biết ${\rm{\Delta }}$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)$.
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau
$Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36$. Gọi ${\rm{\Delta }}$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ có khoảng cách nhỏ nhất. Biết ${\rm{\Delta }}$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau (ảnh 1)$

Giá trị của ${y_0}$ bằng _______.

Giá trị của ${z_0}$ bằng _.

Khoảng cách $AB$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt a $ với $a$ bằng _.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 16) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án

Giá trị của ${y_0}$ bằng -2023.

Giá trị của ${z_0}$ bằng 0 .

Khoảng cách $AB$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt a $ với $a$ bằng 30 .

Giải thích

$Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36$. Gọi ${\rm{\Delta }}$ là đường thẳng đi qua $E$, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ có khoảng cách nhỏ nhất. Biết ${\rm{\Delta }}$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau (ảnh 2)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;2;5} \right)$ và bán kính $R = 6 \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \left( {1;1;2} \right)$

$ \Rightarrow IE = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 6 < R \Rightarrow $ điểm $E$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right),A$ và $B$ là hai giao điểm của ${\rm{\Delta }}$ với $\left( S \right)$.

Khi đó, $AB$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow d{(H;AB)_{{\rm{max}}}} \Leftrightarrow AB \bot HE$, mà $AB \bot IH$ nên $AB \bot \left( {HIE} \right) \Rightarrow AB \bot IE$.

Suy ra $\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {5; - 5;0} \right)\parallel \left( {1; - 1;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${\rm{\Delta }}$.

Suy ra $\vec u = \left( {2023; - 2023;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${\rm{\Delta }}$, do đó ${y_0} = - 2023,{z_0} = 0$.

Ta có: $IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 2.2 - 5 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{3}$.

${\rm{\Delta }}IHE$ vuông tại $H:HE = \sqrt {I{E^2} - I{H^2}} = \sqrt {6 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}$.

${\rm{\Delta }}IHB$ vuông tại $H:HB = \sqrt {I{B^2} - I{H^2}} = \sqrt {36 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{8\sqrt 5 }}{3}$.

$\Delta HEB$ vuông tại $E:BE = \sqrt {H{B^2} - H{E^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{8\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {30} $.

$ \Rightarrow AB = 2BE = 2\sqrt {30} $.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đơn vị tính của năng lượng liên kết hạt nhân là gì?

A. MeV.

B. J.

C. m/s.

D. u.

Lời giải

Đơn vị của năng lượng liên kết là J hoặc MeV, trong đó: 1MeV = 1,6.10-13 J.

Chọn A, B

Câu 2

Virus nhận ra các tế bào chủ của nó theo nguyên tắc “chìa và khóa” nghĩa là

A. protein bề mặt của virus có thể kết hợp được với nhiều thụ thể khác nhau của nhiều loại tế bào khác nhau.

B. protein bề mặt của virus liên kết đặc hiệu với từng loại thụ thể trên bề mặt tế bào.

C. protein bề mặt của virus mã hóa được mọi loại thụ thể tế bào.

D. protein bề mặt của virus liên kết không đặc hiệu với thụ thể trên bề mặt tế bào.

Lời giải

Theo đoạn thông tin: “Virus nhận ra các tế bào chủ của nó theo nguyên tắc “chìa và khóa” giữa các protein bề mặt của virus với các phân tử thụ thể đặc hiệu trên bề mặt ngoài của tế bào chủ”, tức là không phải virus nào cũng xâm nhập được vào hết các loại tế bào, mà cần có sự liên kết đặc hiệu với tùy từng loại thụ thể trên bề mặt tế bào. Chọn B

Câu 3

Trên tập số thực, cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu là $\frac{1}{2}$, số hạng thứ tư là 32 và số hạng cuối là 2048. Tính tổng $T$ các số hạng của cấp số nhân đã cho.

A. $\frac{{1365}}{2}$.

B. $\frac{{5416}}{2}$.

C. $\frac{{5461}}{2}$.

D. $\frac{{21845}}{2}$.

Lời giải