Điền số tự nhiên thích hợp vào các chỗ trống.

Từ một miếng gỗ là khối cầu có bán kính 1dm, bác thợ mộc muốn tạo thành một khối trụ sao cho hai đường tròn đáy của khối trụ thuộc mặt cầu của khối cầu đã cho (xem hình minh họa).

Gọi \(h,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ (tính theo đơn vị \(dm\)). Khi đó ta có \(4{r^2} + {h^2} = \) (1) ________.

Trong các khối trụ thỏa mãn tính chất trên, biết rằng khối trụ có diện tích toàn phần lớn nhất là \(\left( {a + \sqrt b } \right)\pi {\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\) (với \({\rm{a}},{\rm{b}}\) là hai số nguyên). Khi đó \(a + b = \) (2) ________.

Đáp án

Gọi \(h,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ (tính theo đơn vị \(dm\)). Khi đó ta có \(4{r^2} + {h^2} = \) (1) ____4____.

Trong các khối trụ thỏa mãn tính chất trên, biết rằng khối trụ có diện tích toàn phần lớn nhất là \(\left( {a + \sqrt b } \right)\pi {\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\) (với \({\rm{a}},{\rm{b}}\) là hai số nguyên). Khi đó \(a + b = \) (2) ____6____.

Giải thích

Cách 1. Ta có: \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1 \Rightarrow 4{r^2} + {h^2} = 4\).

\({S_{tp}} = 2\pi r\left( {r + h} \right) = 2\pi \left( {{r^2} + rh} \right)\) (1).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(1 = \left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right){r^2} + \left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}{r^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \right) \ge \left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right){r^2} + 2\sqrt {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}{r^2}.\frac{{{h^2}}}{4}}  = \left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right)\left( {{r^2} + rh} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Kết hợp (1) và (2) ta suy ra \({S_{tp}} \le \pi \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)

Cách 2. Ta có: \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1 \Rightarrow 4{r^2} + {h^2} = 4\).

\({S_{tp}} = 2\pi \left( {{r^2} + rh} \right) = 8\pi \left( {\frac{{{r^2} + rh}}{{4{r^2} + {h^2}}}} \right)\)

\( = 8\pi \left( {\frac{{{{\left( {\frac{r}{h}} \right)}^2} + \frac{r}{h}}}{{4{{\left( {\frac{r}{h}} \right)}^2} + 1}}} \right) = 8\pi \frac{{{t^2} + t}}{{4{t^2} + 1}}\)

Khảo sát hàm \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + t}}{{4{t^2} + 1}},t > 0\) ta suy ra \({\rm{max}}{S_{tp}} = \pi \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\).